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Concept
Anneau simple
Résumé
En mathématiques, un anneau simple est une des structures algébriques utilisées en algèbre générale. Un anneau est dit simple s'il est non nul et n'admet pas d'autres idéaux bilatères que {0} et lui-même.
Un anneau commutatif est simple si et seulement si c'est un corps commutatif.
Plus généralement, un corps (non nécessairement commutatif) est un anneau simple, et l'anneau des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans un corps est simple. Parmi les anneaux simples, ceux qui sont artiniens sont, à un isomorphisme près, les anneaux des matrices carrées d'ordre fixé (quelconque) à coefficients dans un corps (quelconque).
Une algèbre associative (unitaire) sur un corps commutatif est dite simple si son anneau sous-jacent est simple.
Soit D un corps (commutatif ou non). Pour tout entier naturel non nul n, l'anneau Mn(D) des matrices carrées à coefficients dans D est un anneau simple artinien. Plus intrinsèquement, pour tout espace vectoriel E de dimension finie non nulle sur D, l'anneau EndD(E) des endomorphismes de E est un anneau simple artinien. La réciproque est vraie :
Théorème de Wedderburn. Soit A un anneau. Il est équivalent de dire que :
l'anneau A est simple et artinien ;
l'anneau A est simple et semi-simple ;
il existe un entier n > 0 et un corps D tel que A est isomorphe à l'anneau Mn(D) des matrices carrées à coefficients dans D ;
A est isomorphe à l'anneau des endomorphismes d'un espace vectoriel de dimension finie non nulle sur un corps.
Soient D et D' des corps, n et n' des entiers > 1. Pour que les anneaux Mn(D) et
Mn' (D' ) soient isomorphes, il faut et il suffit que n = n' et que les corps D et D' soient isomorphes.
Soit E et E' des espaces vectoriels de dimensions finies non nulles sur D et D' . Pour que les anneaux EndD(E) et EndD' (E' ) soient isomorphes, il faut et il suffit que les corps D et D' soient isomorphes et que les dimensions de E et E' soient égales.
Donc, les anneaux simples artiniens axiomatisent les anneaux des matrices à coefficients dans des corps, et les anneaux des endomorphismes d'espaces vectoriels de dimension finie.
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