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Concept
Symétrie (transformation géométrique)
Résumé
Une symétrie géométrique est une transformation géométrique involutive qui conserve le parallélisme. Parmi les symétries courantes, on peut citer la réflexion et la symétrie centrale.
Une symétrie géométrique est un cas particulier de symétrie. Il existe plusieurs sortes de symétries dans le plan ou dans l’espace.
Remarque : Le terme de symétrie possède aussi un autre sens en mathématiques. Dans l'expression groupe de symétrie, une symétrie désigne une isométrie quelconque. Ce terme désigne soit une translation, soit un automorphisme orthogonal, soit la composée des deux.
La symétrie de centre O est la transformation qui, à tout point M, associe le point M' tel que O soit le milieu de [MM'].
Fichier:symcentre.png
Construction : Tracez la droite (d) passant par A et O. Prolongez la au-delà de O. Avec un compas pointé en O et un écartement égal à OA, recoupez (d) en A'.
Le seul point invariant de cette symétrie est le point O.
Une symétrie de centre O est aussi une rotation d’angle plat et une homothétie de centre O et de rapport -1
Une figure possède un centre de symétrie C si elle est invariante par la symétrie de centre C.
vignette|upright=0.5|Roi de cœur
Exemples de centre de symétrie :
Les lettres N, S et Z possèdent un centre de symétrie.
Un parallélogramme possède pour centre de symétrie le point d’intersection de ses diagonales. Cette propriété est caractéristique des parallélogrammes : un quadrilatère ABCD possédant cette propriété est nécessairement un parallélogramme.
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L’hexagone est un polygone qui admet l’intersection de ses diagonales comme centre de symétrie.
Le cercle admet son centre comme centre de symétrie.
En analyse, une courbe d’équation y = f(x) possède un centre de symétrie C(a ; b) si et seulement si, pour tout réel h tel que a + h appartienne au domaine de définition de f, on a
a - h appartient au domaine de définition
f(a + h) + f(a - h) = 2b
Lorsque le centre de symétrie est à l’origine du repère, la fonction est dite impaire. Dans ce cas l'expression précédente se simplifie en : f(- h) = - f(h).
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