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Concept
Groupe ponctuel de symétrie
Résumé
En géométrie, un groupe ponctuel de symétrie est un sous-groupe d'un groupe orthogonal : il est composé d'isométries, c'est-à-dire d'applications linéaires laissant invariants les distances et les angles. Le groupe ponctuel de symétrie d'une molécule est constitué des isométries qui laissent la molécule, en tant que forme géométrique, invariante.
thumb|Figure 1 : exemple de rotation
En cristallographie, un groupe ponctuel contient les opérations de symétrie qui laissent invariants la morphologie d’un cristal et ses propriétés physiques (la symétrie de la structure atomique d’un cristal est décrite par les groupes d’espace). Ils sont classés en groupes holoèdres et mérièdres, selon qu’ils décrivent la symétrie complète du réseau ou qu’ils sont des sous-groupes de ceux-ci. L'existence d'un réseau périodique comporte des restrictions sur l'ordre des rotations, qui en deux et trois dimensions sont limitées aux valeurs 1, 2, 3, 4 et 6, alors que ces restrictions ne s'appliquent pas aux objets non périodiques comme les molécules.
Cette question relève d'un problème mathématique plus général, les termes utilisés étant alors un peu différents. Elle correspond à l'analyse du groupe orthogonal d'un réseau. Un réseau est l'équivalent d'un espace vectoriel, à la différence que les scalaires sont les nombres entiers et non pas des éléments d'un corps. Le groupe orthogonal est le groupe des applications linéaires conservant les distances et les angles.
Réseau (géométrie)
En mathématiques, l'explicitation d'un groupe orthogonal est une question largement étudiée. Un réseau est un quasi espace vectoriel, avec comme unique différence que les scalaires sont des nombres entiers. Cette analogie permet d'établir des théorèmes communs. Par exemple, à l'image de son analogue vectoriel, un réseau admet une base et tout point du réseau peut être repéré par un jeu de coordonnées, cette fois à valeurs entières.
Un point du réseau est identifié à un vecteur, et l'image de deux vecteurs par une isométrie est formée de deux vecteurs de même longueur, l'angle défini par les deux vecteurs images étant le même que celui des deux vecteurs initiaux.
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