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Concept
Comparaison asymptotique
Résumé
En mathématiques, plus précisément en analyse, la comparaison asymptotique est une méthode consistant à étudier la vitesse de croissance d'une fonction au voisinage d'un point ou à l'infini, en la comparant à celle d'une autre fonction considérée comme plus « simple ». Celle-ci est souvent choisie sur une échelle de référence, contenant en général au moins certaines fonctions dites élémentaires, en particulier les sommes et produits de polynômes, d'exponentielles et de logarithmes. Les notations correspondantes sont en particulier utilisées en physique et en informatique, par exemple pour décrire la complexité de certains algorithmes. Elles sont également utilisées en théorie analytique des nombres pour évaluer finement l'erreur commise en remplaçant une fonction irrégulière, comme celle comptant les nombres premiers, par une fonction de l'échelle choisie.
La méthode a été introduite par les travaux de Paul du Bois-Reymond à partir de 1872 ; pour faciliter les calculs et la présentation des résultats, diverses notations ont été développées, en particulier par Bachmann (1894), Landau (1909), Hardy (1910), Hardy et Littlewood (1914 et 1916), et Vinogradov ( 1930).
Fonction négligeable
Soit f et g les fonctions réelles définies par les formules
Par une étude des deux fonctions, on sait que g prend des valeurs aussi grandes que l'on veut au voisinage de l'infini, tandis que f ne peut prendre des valeurs qu'entre 1 et 3. Le quotient g divisé par f au voisinage de l'infini ne cesse d'augmenter et n'est pas borné. Dans ce contexte, on peut dire que f est négligeable devant g, ou que g est prépondérante devant f, au voisinage de l'infini, on écrit (notation de Landau) : ou (notation de Hardy, désuète)
La notation de Hardy permet d'enchaîner les relations de prépondérance, par exemple :
Pour définir formellement cette propriété on considère le comportement du quotient .
Soit
Soient f et g deux fonctions de la variable réelle x. On suppose que g ne s'annule pas sur un voisinage de a.
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