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Concept
Comparaison série-intégrale
Résumé
Les séries sont un procédé de sommation de grandeurs discrètes, l'intégrale de grandeurs continues. L'analogie formelle entre les deux domaines permet de faire passer des idées intéressantes de l'une à l'autre. La comparaison explicite d'une intégrale et d'une série associées permet par exemple d'utiliser l'une pour avoir des valeurs approchées de l'autre.
À partir de la série numérique de terme général un, on fabrique une fonction constante par morceaux f, définie par f(x) = un pour x dans [n, n+1[.
Alors l'intégrale de f sur et la série sont de même nature (toutes deux convergentes, ou toutes deux divergentes).
En ce sens la théorie des séries peut être vue comme un cas particulier de l'étude de la convergence des intégrales au voisinage de .
Il faut prendre garde cependant que les intégrales recèlent une gamme de comportements plus riches que les séries, ainsi :
il est connu que si la série de terme général un converge, alors la suite de terme général un tend vers 0 ;
au contraire, il existe des fonctions f d'intégrale convergente (voire absolument convergente) et telles que f ne tend pas vers 0. C'est le cas de l'intégrale de Fresnel par exemple.
On suppose cette fois que la série s'exprime sous une forme explicite un = f(n).
Bien sûr si f « change trop » entre deux valeurs entières consécutives, il n'y a pas de raison qu'il y ait de lien entre série et intégrale.
On ajoutera donc des hypothèses de comportement sur f pour obtenir des résultats de comparaison positifs.
Soit f telle que un = f(n). Si f est décroissante sur l'intervalle , alors on peut encadrer
puis
encadrement que l'on peut renverser en un encadrement de un
On peut sommer ces encadrements de façon à obtenir
un encadrement de la suite des sommes partielles (attention au premier terme)
Cet encadrement peut donner la limite ou un équivalent pour la suite des sommes partielles.
Théorème de comparaison ou critère intégral de Cauchy :
Si f est monotone sur l'intervalle , alors la série et l'intégrale sont de même nature, c'est-à-dire que la série est convergente si et seulement si l'intégrale est convergente.
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