Opérateur borné

Résumé

En mathématiques, la notion d'opérateur borné est un concept d'analyse fonctionnelle. Il s'agit d'une application linéaire L entre deux espaces vectoriels normés X et Y telle que l'image de la boule unité de X est une partie bornée de Y. On montre qu'ils s'identifient aux applications linéaires continues de X dans Y. L'ensemble des opérateurs bornés est muni d'une norme issue des normes de X et de Y, la norme d'opérateur. Définition Une application linéaire L entre les espaces vectoriels normés X et Y est appelée opérateur borné quand l'ensemble :\left{\left.\tfrac{|Lu|_Y}{|u|_X}\right|u\in X\setminus{0}\right}= \left{|Lu|_Y\mid u\in X, |u|_X=1\right} est borné. En d'autres termes, il existe un réel M strictement positif pour lequel, pour tout u appartenant à X, l'inégalité suivante est réalisée :|Lu|_Y \le M |u|_X., Le plus petit des majorants M convenable est appelé norme d'opérateur de L, et noté |!|!|L|!|!|

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A9rateur_born%C3%A9

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Exponential decay and Fredholm properties in second-order quasilinear elliptic systems

Hicham Georges Gebran, Charles Stuart

We consider second-order quasilinear elliptic systems on un-bounded domains in the setting of Sobolev spaces. We complete our earlier work on the Fredholm and properness properties of the associated differential operators by giving verifiable conditions for the linearization to be Fredholm of index zero. This opens the way to using the degree for C-1-Fredholm maps of index zero as a tool in the study of such quasilinear systems. Our work also enables us to check the Fredholm assumption which plays an important role in Rabies approach to proving exponential decay to zero at infinity of solutions. (C) 2010 Elsevier Inc. All rights reserved.

2010

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Periodic Splines and Gaussian Processes for the Resolution of Linear Inverse Problems

Anaïs Laure Marie-Thérèse Badoual, Julien René Fageot, Michaël Unser

This paper deals with the resolution of inverse problems in a periodic setting or, in other terms, the reconstruction of periodic continuous-domain signals from their noisy measurements. We focus on two reconstruction paradigms: variational and statistical. In the variational approach, the reconstructed signal is solution to an optimization problem that establishes a trade off between fidelity to the data and smoothness conditions via a quadratic regularization associated with a linear operator. In the statistical approach, the signal is modeled as a stationary random process defined from a Gaussian white noise and a whitening operator; one then looks for the optimal estimator in the mean-square sense. We give a generic form of the reconstructed signals for both approaches, allowing for a rigorous comparison of the two. We fully characterize the conditions under which the two formulations yield the same solution, which is a periodic spline in the case of sampling measurements. We also show that this equivalence between the two approaches remains valid on simulations for a broad class of problems. This extends the practical range of applicability of the variational method.

2018

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