En mathématiques, la notion d'opérateur borné est un concept d'analyse fonctionnelle. Il s'agit d'une application linéaire L entre deux espaces vectoriels normés X et Y telle que l'image de la boule unité de X est une partie bornée de Y. On montre qu'ils s'identifient aux applications linéaires continues de X dans Y. L'ensemble des opérateurs bornés est muni d'une norme issue des normes de X et de Y, la norme d'opérateur.
Une application linéaire L entre les espaces vectoriels normés X et Y est appelée opérateur borné quand l'ensemble
est borné. En d'autres termes, il existe un réel M strictement positif pour lequel, pour tout u appartenant à X, l'inégalité suivante est réalisée
Le plus petit des majorants M convenable est appelé norme d'opérateur de L, et noté , ou plus simplement .
Cette définition peut être reformulée de plusieurs façons. Ainsi une application linéaire L de X dans Y est dite bornée quand l'image de la boule unité B est bornée, et est le rayon de la plus petite boule de Y contenant les images des éléments de B.
Ou encore, en utilisant la linéarité, un opérateur est borné si et seulement s'il s'agit d'une application lipschitzienne, et est alors sa constante de Lipschitz.
L'expression « opérateur borné » ne doit pas induire en erreur, il ne s'agit pas d'une fonction bornée de X dans Y, mais bien plutôt d'une fonction localement bornée.
Un opérateur L entre deux espaces vectoriels normés X et Y est borné si et seulement s'il est continu en 0, ou encore si et seulement s'il est continu sur X.
Une application linéaire entre espaces vectoriels normés de dimension finie est toujours un opérateur borné.
Plus généralement, c'est le cas de toutes les applications linéaires pour lesquelles l'espace de départ est de dimension finie.
Sur l'espace vectoriel des polynômes , en prenant pour norme le maximum des valeurs absolues des coefficients, la forme linéaire L qui à un polynôme P associe P(2) n'est pas continue : elle n'est pas bornée puisque L(X) = 2.
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En mathématiques, un espace localement convexe est un espace vectoriel topologique dont la topologie peut être définie à l'aide d'une famille de semi-normes. C'est une généralisation de la notion d'espace normé. Un espace vectoriel topologique E est dit localement convexe s'il vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes : il existe une famille de semi-normes telle que la topologie de E est initiale pour l'ensemble d'applications ; le vecteur nul possède une base de voisinages formée de convexes.
In mathematical analysis, the uniform norm (or ) assigns to real- or complex-valued bounded functions f defined on a set S the non-negative number This norm is also called the , the , the , or, when the supremum is in fact the maximum, the . The name "uniform norm" derives from the fact that a sequence of functions \left{f_n\right} converges to f under the metric derived from the uniform norm if and only if f_n converges to f uniformly.
En analyse fonctionnelle et dans des domaines mathématiques reliés, une partie d'un espace vectoriel topologique est dite bornée (au sens de von Neumann) si tout voisinage du vecteur nul peut être dilaté de manière à contenir cette partie. Ce concept a été introduit par John von Neumann et Andreï Kolmogorov en 1935. Les parties bornées sont un moyen naturel de définir les (localement convexes) sur les deux espaces vectoriels d'une paire duale.
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