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Concept
Loi géométrique
Résumé
En théorie des probabilités et en statistique, la loi géométrique désigne, selon la convention choisie, l'une des deux lois de probabilité suivantes :
la loi du nombre X d'épreuves de Bernoulli indépendantes de probabilité de succès p ∈ ]0,1[ (ou q = 1 – p d'échec) nécessaire pour obtenir le premier succès. X est la variable aléatoire donnant le rang du premier succès. Le support de la loi est alors {1, 2, 3, ...}.
La loi du nombre Y = X – 1 d'échecs avant le premier succès. Le support de la loi est alors {0, 1, 2, 3, ...}.
On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p.
Ces deux lois sont différentes. C'est pourquoi il faut préciser la convention choisie en indiquant le support. Dans la suite, sauf mention contraire, on suppose que les valeurs de X sont les entiers naturels non nuls 1, 2, 3, ...
En notant , la probabilité que X = k est alors, pour k = 1, 2, 3, ... :
La probabilité correspond à la probabilité d'obtenir dans une succession de k épreuves de Bernoulli, k – 1 échecs suivis d'un succès. Les épreuves étant indépendantes, cette probabilité est de qk – 1p. Dans la suite, nous prenons cette définition.
Pour l'autre définition, nous avons :
Il s'agit lors d'une succession d'épreuves de Bernoulli indépendantes, d'obtenir k échecs consécutifs suivi d'un succès. Elle modélise la durée de vie d'une entité qui aurait, à tout instant la probabilité p de mourir.
On remarque qu'il ne s'agit que d'un décalage de la précédente loi géométrique, au sens suivant. Son espérance n'est plus alors de 1/p mais de 1/p – 1, c'est-à-dire q/p. La variance est identique pour les deux définitions.
Si on appelle p la probabilité de désintégration d'une particule radioactive, la loi géométrique est le premier modèle discret de la mort d'une particule radioactive. La durée de vie de la particule radioactive V, suit la loi de probabilité suivante :
Pour p petit, ln(1 – p) est voisin de – p donc
où l'on retrouve la distribution de la loi exponentielle.
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