Disque de PoincaréEn géométrie, le disque de Poincaré (appelé aussi représentation conforme) est un modèle du plan hyperbolique, ou plus généralement de la géométrie hyperbolique à n dimensions, où les points sont situés dans la boule unité ouverte de dimension n et les droites sont soit des arcs de cercles contenus dans cette boule et orthogonaux à sa frontière, soit des diamètres de la boule. En plus du modèle de Klein et du demi-plan de Poincaré, il a été proposé par Eugenio Beltrami pour démontrer que la consistance de la géométrie hyperbolique était équivalente à la consistance de la géométrie euclidienne.
Fuchsian groupIn mathematics, a Fuchsian group is a discrete subgroup of PSL(2,R). The group PSL(2,R) can be regarded equivalently as a group of orientation-preserving isometries of the hyperbolic plane, or conformal transformations of the unit disc, or conformal transformations of the upper half plane, so a Fuchsian group can be regarded as a group acting on any of these spaces.
Disque unitédroite|vignette|Disque unité ouvert avec la distance euclidienne. En mathématiques, le disque unité ouvert autour de P (où P est un point donné dans le plan), est l'ensemble des points dont la distance à P est inférieure à 1 : Le disque unité fermé autour de P est l'ensemble des points dont la distance à P est inférieure ou égale à un : Les disques unités sont des cas particuliers de disques et de boules unités ; en tant que tels, ils contiennent l'intérieur du cercle unité et, dans le cas du disque unité fermé, le cercle unité lui-même.
Hyperbolic spaceIn mathematics, hyperbolic space of dimension n is the unique simply connected, n-dimensional Riemannian manifold of constant sectional curvature equal to -1. It is homogeneous, and satisfies the stronger property of being a symmetric space. There are many ways to construct it as an open subset of with an explicitly written Riemannian metric; such constructions are referred to as models. Hyperbolic 2-space, H2, which was the first instance studied, is also called the hyperbolic plane.
Transformation de MöbiusEn mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, les transformations de Möbius sont de manière générale des automorphismes du compactifié d'Alexandrov de noté , définies comme la composée d'un nombre fini d'inversions par rapport à des hyperplans ou des hypersphères.
Upper half-planeIn mathematics, the upper half-plane, is the set of points in the Cartesian plane with The lower half-plane is defined similarly, by requiring that be negative instead. Each is an example of two-dimensional half-space. The affine transformations of the upper half-plane include shifts , , and dilations , . Proposition: Let and be semicircles in the upper half-plane with centers on the boundary. Then there is an affine mapping that takes to . Proof: First shift the center of to . Then take and dilate.
Groupe modulaireEn mathématiques, on appelle groupe modulaire le groupe PSL(2, Z), quotient du groupe spécial linéaire SL(2, Z) par son centre { Id, –Id }. Il s'identifie à l'image de SL(2, Z) dans le groupe de Lie On le note souvent Γ(1) ou simplement Γ. Ce nom provient de l'action à gauche et fidèle de Γ(1) par homographies sur le demi-plan de Poincaré H des nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Cette action n'est que la restriction de l'action de PGL(2, C) sur la droite projective complexe P(C) = C ∪ {∞} : la matrice agit sur P(C) par la transformation de Möbius qui en envoie z sur .
Modèle de l'hyperboloïdeEn géométrie, le modèle de l'hyperboloïde, également dénommé modèle de Minkowski ou modèle de Lorentz (d'après les noms de Hermann Minkowski et Hendrik Lorentz), est un modèle de géométrie hyperbolique dans un espace de Minkowski de dimension n. Ce modèle d'espace hyperbolique est étroitement lié au modèle de Klein ou au disque de Poincaré. Espace de Minkowski Si x = (x0, x1, ...
Quartique de Kleinthumb|La quartique de Klein est le quotient d'un pavage uniforme triangulaire d'ordre 7. En géométrie hyperbolique, la quartique de Klein, du nom du mathématicien allemand Felix Klein, est une surface de Riemann compacte de genre 3. Elle a le groupe d'automorphismes d'ordre le plus élevé possible parmi les surfaces de Riemann de genre 3, à savoir le groupe simple d'ordre 168. La quartique de Klein est en conséquence la de genre le plus bas possible. Surface de Bolza Surface de Macbeath Théorème de Stark-Hee
HorosphereIn hyperbolic geometry, a horosphere (or parasphere) is a specific hypersurface in hyperbolic n-space. It is the boundary of a horoball, the limit of a sequence of increasing balls sharing (on one side) a tangent hyperplane and its point of tangency. For n = 2 a horosphere is called a horocycle. A horosphere can also be described as the limit of the hyperspheres that share a tangent hyperplane at a given point, as their radii go towards infinity.
