En mathématiques, un espace séquentiel est un espace topologique dont la topologie est définie par l'ensemble de ses suites convergentes. C'est le cas en particulier pour tout espace à base dénombrable.
Soit X un espace topologique.
Un sous-ensemble U de X est dit « séquentiellement ouvert » si toute suite (xn) de X qui converge vers un point de U « appartient à U à partir d'un certain rang ».
Un sous-ensemble F de X est dit « séquentiellement fermé » si la convergence d'une suite (xn) de F vers x implique que x appartient à F.
Le complémentaire d'un sous-ensemble séquentiellement fermé est séquentiellement ouvert et vice-versa. Tout ouvert (resp. fermé) de X est séquentiellement ouvert (resp. fermé) mais les réciproques sont fausses en général, ce qui motive la définition suivante.
L'espace X est dit séquentiel s'il satisfaisait l'une des conditions équivalentes suivantes :
tout sous-ensemble séquentiellement ouvert de X est ouvert ;
tout sous-ensemble séquentiellement fermé de X est fermé.
Dans un article fondateur sur les algèbres qui portent son nom, von Neumann soulignait que, dans l'espace l(N*) muni de la topologie faible, 0 est adhérent à l'ensemble des e + me mais n'appartient pas à sa fermeture séquentielle (car ses suites convergentes sont bornées en norme donc m est constant à partir d'un certain rang).
Les espaces « qui peuvent être définis complètement ne connaissant que leurs suites convergentes » ont fait dans les années 1960 l'objet de nombreuses études, que S. P. Franklin a synthétisées et généralisées.
Les espaces séquentiels répondent un peu à cette spécification informelle et les espaces de Fréchet-Urysohn un peu mieux, à condition de ne pas la surinterpréter : par exemple sur l'espace l, la topologie forte est strictement plus fine que la faible mais les suites convergentes sont les mêmes.
Soit X un espace topologique.
Les sous-ensembles séquentiellement ouverts forment une nouvelle topologie sur X ; l'espace est séquentiel si et seulement si sa « topologie séquentielle » (plus fine a priori) coïncide avec sa topologie originelle.
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Filters in topology, a subfield of mathematics, can be used to study topological spaces and define all basic topological notions such as convergence, continuity, compactness, and more. Filters, which are special families of subsets of some given set, also provide a common framework for defining various types of limits of functions such as limits from the left/right, to infinity, to a point or a set, and many others. Special types of filters called have many useful technical properties and they may often be used in place of arbitrary filters.
En mathématiques, un espace séquentiel est un espace topologique dont la topologie est définie par l'ensemble de ses suites convergentes. C'est le cas en particulier pour tout espace à base dénombrable. Soit X un espace topologique. Un sous-ensemble U de X est dit « séquentiellement ouvert » si toute suite (xn) de X qui converge vers un point de U « appartient à U à partir d'un certain rang ». Un sous-ensemble F de X est dit « séquentiellement fermé » si la convergence d'une suite (xn) de F vers x implique que x appartient à F.
En mathématiques, un espace topologique est dit compactement engendré si c'est un k-espace faiblement Hausdorff. Cette notion intervient en théorie de l'homotopie, dans l'étude des CW-complexes. Un espace X est : un k-espace si toute partie « compactement fermée » de X est fermée (une partie F de X est dite compactement fermée si pour toute application continue f d'un compact K dans X, est fermé dans K) ; faiblement Hausdorff si toute application continue d'un compact dans X est fermée.
Concepts de base de l'analyse fonctionnelle linéaire: opérateurs bornés, opérateurs compacts, théorie spectrale pour les opérateurs symétriques et compacts, le théorème de Hahn-Banach, les théorèmes d
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