Espace compactement engendré

En mathématiques, un espace topologique est dit compactement engendré si c'est un k-espace faiblement Hausdorff. Cette notion intervient en théorie de l'homotopie, dans l'étude des CW-complexes. Un espace X est : un k-espace si toute partie « compactement fermée » de X est fermée (une partie F de X est dite compactement fermée si pour toute application continue f d'un compact K dans X, est fermé dans K) ; faiblement Hausdorff si toute application continue d'un compact dans X est fermée. Se restreindre aux k-espaces sert principalement à obtenir une sous-catégorie de celle des espaces topologiques qui soit cartésienne fermée. On démontre que X est faiblement Hausdorff, ou t, si et seulement si sa diagonale est compactement fermée dans X×X, ce qui est une condition plus faible que la séparation usuelle de Hausdorff, ou T, pour laquelle la diagonale doit être fermée. Plus précisément, la propriété t est située, dans la hiérarchie des axiomes de séparation, entre la séparation T et la séparation KC, ou T’. Un espace KC est un espace dans lequel tout quasi-compact est fermé. Dans un espace faiblement Hausdorff, on demande seulement que les images continues de compacts soient fermées. Mais elles sont alors automatiquement séparées donc compactes, et il en résulte que dans un espace X compactement engendré, une partie est fermée dès que son intersection avec tout compact K de X est fermée dans K. On en déduit facilement que X est KC. Ainsi, pour un k-espace, ces deux notions très proches de séparation (faiblement Hausdorff et KC) sont en fait équivalentes. Un avantage de cette hypothèse de séparation est de permettre une reformulation plus simple de la définition des k-espaces : on vient de voir qu'un espace faiblement Hausdorff est un k-espace si et seulement si sa topologie est cohérente avec la famille de ses parties compactes. On peut remplacer fermé par ouvert dans cette caractérisation : un espace faiblement Hausdorff X est un k-espace si et seulement si une partie de X est ouverte dès que son intersection avec tout compact K de X est ouverte dans K.