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Concept
Formule du binôme de Newton
Résumé
vignette|Visualisation de l'expansion binomiale
La formule du binôme de Newton est une formule mathématique donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme ou formule de Newton.
Énoncé
Si x et y sont deux éléments d'un anneau (par exemple deux nombres réels ou complexes, deux polynômes, deux matrices carrées de même taille, etc.) qui commutent (c'est-à-dire tels que xy = yx — par exemple pour des matrices : y = la matrice identité) alors, pour tout entier naturel n,
(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{k} y^{n-k}=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k,
où les nombres
(parfois aussi notés C{{indexp|n|k}}) sont les coefficients binomiaux, « ! » désignant la factorielle et x l'élément unité de l'anneau.
En remplaçant dans la formule y par –y, on obtient :
Exemples :
:\begin{array}
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