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Concept
Formule du binôme de Newton
Résumé
vignette|Visualisation de l'expansion binomiale
La formule du binôme de Newton est une formule mathématique donnée par Isaac Newton pour trouver le développement d'une puissance entière quelconque d'un binôme. Elle est aussi appelée formule du binôme ou formule de Newton.
Si x et y sont deux éléments d'un anneau (par exemple deux nombres réels ou complexes, deux polynômes, deux matrices carrées de même taille, etc.) qui commutent (c'est-à-dire tels que xy = yx — par exemple pour des matrices : y = la matrice identité) alors, pour tout entier naturel n,
où les nombres
(parfois aussi notés C) sont les coefficients binomiaux, « ! » désignant la factorielle et x l'élément unité de l'anneau.
En remplaçant dans la formule y par –y, on obtient :
Exemples :
On peut démontrer la formule de l'énoncé par récurrence.
Une preuve plus intuitive utilise le fait que le coefficient binomial est le nombre de parties à k éléments dans un ensemble à n éléments. Quand on développe l'expression
on obtient une somme de monômes de la forme xy où j et k représentent respectivement le nombre de fois qu'on a choisi x ou y en développant. On a forcément j = n – k, puisqu'à chaque fois qu'on ne choisit pas y, on choisit x. Enfin, comme il y a manières différentes de choisir k fois la valeur y parmi les n expressions (x + y) multipliées ci-dessus, le monôme xy doit apparaître dans le développement avec le coefficient .
La démonstration par récurrence peut être calquée pour démontrer la formule de Leibniz pour la dérivée n-ième d'un produit.
La méthode combinatoire de sa variante permet de généraliser l'identité polynomiale
en
où les σ désignent les polynômes symétriques élémentaires.
Il est également possible de généraliser la formule à des sommes de m termes complexes élevées à une puissance entière n (voir l'article Formule du multinôme de Newton) :
et à des exposants non entiers (voir l'article Formule du binôme généralisée) ou entiers négatifs (voir l'article Formule du binôme négatif).
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