Calcul ombralEn mathématiques, le calcul ombral est le nom d'un ensemble de techniques de calcul formel qui, avant les années 1970, était plutôt appelé calcul symbolique. Il s'agit de l'étude des similarités surprenantes entre certaines formules polynomiales a priori non reliées entre elles, et d'un ensemble de règles de manipulation (au demeurant assez peu claires) pouvant être utilisées pour les obtenir (mais non les démontrer).
Jérôme CardanJérôme Cardan (en italien : Gerolamo Cardano ou Girolamo Cardano, en latin : Hieronymus Cardanus), né à Pavie le et mort à Rome le , est un mathématicien, philosophe, astrologue, inventeur et médecin italien. Né à Pavie le , il est le fils illégitime d'un docte juriste milanais, Fazio Cardano, jurisconsulte, ami de Léonard de Vinci, et d'une veuve, Chiara Micheri. Extraordinairement précoce et éduqué par son père, il est, dès sa jeunesse, célèbre comme astrologue et mage, avant de donner des preuves de son , dans les mathématiques et les sciences naturelles.
Type binomialEn mathématiques, une suite de polynômes indexés par des entiers positifs dans laquelle l'indice de chaque polynôme est égal à son degré, est dit de type binomial s'il satisfait la suite d'identités De nombreuses suites de ce type existent. L'ensemble de toutes ces suites forme un groupe de Lie sous l'opération de composition ombrale. Chaque suite de type binomial peut être exprimée en termes de polynômes de Bell. Chaque suite de type binomial est une suite de Sheffer (mais la réciproque est généralement fausse : la plupart des suites de Sheffer ne sont pas de type binomial).
Pascal's ruleIn mathematics, Pascal's rule (or Pascal's formula) is a combinatorial identity about binomial coefficients. It states that for positive natural numbers n and k, where is a binomial coefficient; one interpretation of the coefficient of the xk term in the expansion of (1 + x)n. There is no restriction on the relative sizes of n and k, since, if n < k the value of the binomial coefficient is zero and the identity remains valid. Pascal's rule can also be viewed as a statement that the formula solves the linear two-dimensional difference equation over the natural numbers.
Formule de FaulhaberEn mathématiques, la formule de Faulhaber, portant le nom du mathématicien allemand Johann Faulhaber, exprime la somme des puissances p-ième des n premiers entiers : par une fonction polynomiale de degré p + 1 en n, les coefficients impliquant les nombres de Bernoulli : .Les coefficients qui apparaissent sont les coefficients binomiaux (aussi notés ). Dans la convention la plus usuelle, les nombres de Bernoulli sont mais ici, une convention moins courante est adoptée, à savoir que le nombre est changé en .
Produit (mathématiques)On nomme produit de nombres entiers, réels, complexes ou autres le résultat de leur multiplication. Les éléments multipliés s’appellent les facteurs du produit. L’expression d’un produit est aussi appelée « produit », par exemple l’écriture 3a du triple du nombre a est un produit de deux facteurs, où le symbole de la multiplication est sous-entendu. L'ordre dans lequel les nombres réels ou les nombres complexes sont multipliés, de même que la façon de regrouper ces termes, n'ont pas d'importance ; ainsi, nulle permutation de termes ne modifie le résultat du produit.
Enumerative combinatoricsEnumerative combinatorics is an area of combinatorics that deals with the number of ways that certain patterns can be formed. Two examples of this type of problem are counting combinations and counting permutations. More generally, given an infinite collection of finite sets Si indexed by the natural numbers, enumerative combinatorics seeks to describe a counting function which counts the number of objects in Sn for each n.
Développement (mathématiques)vignette|Développement d'un produit de fonctions polynomiales.|215x215px En mathématiques, le développement d'une expression est un procédé inverse de la factorisation, de portée toutefois plus limitée que celle-ci : alors qu'on parle de factorisation aussi bien pour les nombres entiers que pour les polynômes, par exemple, on ne parle pas de développement des nombres entiers ; cette notion nécessite en effet de travailler dans une algèbre. À l'issue d'un développement, on obtient une forme dite forme développée.
Formule du binôme généraliséeLa formule du binôme généralisée permet de développer une puissance complexe d'une somme de deux termes sous forme d'une somme de série et généralise la formule du binôme de Newton et celle du binôme négatif. Dans le cas d'un exposant rationnel, elle a été énoncée sans démonstration par Newton dans ses Principia Mathematica en 1687, puis prouvée par Euler en 1773.
Formule du multinôme de NewtonEn mathématiques, la formule du multinôme de Newton est une relation donnant le développement d'une puissance entière n d'une somme d'un nombre fini m de termes sous forme d'une somme de produits de puissances de ces termes affectés de coefficients, lesquels sont appelés des coefficients multinomiaux. La formule du binôme s'obtient comme cas particulier de la formule du multinôme, pour m=2 ; et dans ce cas les coefficients multinomiaux sont les coefficients binomiaux.
