Processus stochastique

Un processus ou processus aléatoire (voir Calcul stochastique) ou fonction aléatoire (voir Probabilité) représente une évolution, discrète ou à temps continu, d'une variable aléatoire. Celle-ci intervient dans le calcul classique des probabilités, où elle mesure chaque résultat possible (ou réalisation) d'une épreuve. Cette notion se généralise à plusieurs dimensions. Un cas particulier important, le champ aléatoire de Markov, est utilisé en analyse spatiale. De nombreux domaines utilisent des observations en fonction du temps (ou plus rarement, d'une variable d'espace). Dans les cas les plus simples, ces observations se traduisent par une courbe bien définie. En réalité, des sciences de la Terre aux sciences humaines, les observations se présentent souvent de manière plus ou moins erratique. L'interprétation de ces observations est donc soumise à une certaine incertitude qui peut être traduite par l'utilisation des probabilités pour les représenter. Un processus aléatoire généralise la notion de variable aléatoire utilisée en probabilité. On le définit comme une famille de variables aléatoires X(t) associées à toutes les valeurs t ∈ T (souvent le temps). D'un point de vue statistique, on considèrera l'ensemble des observations disponibles x(t) comme une réalisation du processus, ce qui donne lieu à certaines difficultés. Un premier problème concerne le fait que la durée sur laquelle est construit le processus est généralement infinie alors qu'une réalisation porte sur une durée finie. Il est donc impossible de représenter parfaitement la réalité. Il y a une seconde difficulté beaucoup plus sérieuse : à la différence du problème des variables aléatoires, l'information disponible sur un processus se réduit généralement à une seule réalisation. On distingue généralement les processus en temps discret et en temps continu, à valeurs discrètes et à valeurs continues. Si l'ensemble T est dénombrable on parle de ou de , si l'ensemble est indénombrable on parle de .