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Concept
Théorème central limite
Résumé
thumb|upright=2|La loi normale, souvent appelée la « courbe en cloche ».
Le théorème central limite (aussi appelé théorème limite central, théorème de la limite centrale ou théorème de la limite centrée) établit la convergence en loi de la somme d'une suite de variables aléatoires vers la loi normale. Intuitivement, ce résultat affirme qu'une somme de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées tend (le plus souvent) vers une variable aléatoire gaussienne.
Ce théorème et ses généralisations offrent une explication de l'omniprésence de la loi normale dans la nature : de nombreux phénomènes sont dus à l'addition d'un grand nombre de petites perturbations aléatoires.
La première démonstration de ce théorème, publiée en 1809, est due à Pierre-Simon de Laplace, mais le cas particulier où les variables suivent la loi de Bernoulli de paramètre p = 0,5 était connu depuis les travaux de De Moivre, en 1733.
La dénomination « théorème central limite » fait référence à un document scientifique écrit par George Pólya en 1920, intitulé Über den zentralen Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung und das Momentenproblem [Sur le théorème [ayant rapport à la notion de] limite central du calcul probabiliste et le problème des moments). Historiquement, et conformément à la traduction du titre, c'est donc bien le théorème qui est central, d'où l'appellation « théorème central limite ».
Cependant, dans la littérature mathématique française, on peut trouver d'autres dénominations, comme « théorème limite central », « théorème de la limite centrale » ou « théorème de la limite centrée ». Une justification avancée par certains auteurs est que l'adjectif « central » s'applique au centre de la distribution, par opposition à sa queue.
Ce théorème est évident si n variables aléatoires suivent une loi normale d'espérance (ou moyenne) μ : en effet leur somme suit une loi normale de paramètre nμ. Dans le cas de variables ne suivant pas une loi normale, le théorème peut sembler étonnant au premier abord.
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