Géométrie différentielle des surfacesEn mathématiques, la géométrie différentielle des surfaces est la branche de la géométrie différentielle qui traite des surfaces (les objets géométriques de l'espace usuel E3, ou leur généralisation que sont les variétés de dimension 2), munies éventuellement de structures supplémentaires, le plus souvent une métrique riemannienne. Outre les surfaces classiques de la géométrie euclidienne (sphères, cônes, cylindres, etc.
HypercycleEn géométrie hyperbolique, un hypercycle est une courbe formée de tous les points situés à la même distance, appelée le rayon, d'une droite fixée (appelée son axe). Les hypercycles peuvent être considérés comme des cercles généralisés, mais possèdent aussi certaines propriétés des droites euclidiennes ; dans le modèle du disque de Poincaré, les hypercycles sont représentés par des arcs de cercles. En géométrie euclidienne, l'ensemble de tous les points situés à distance donnée d'une droite donnée est formée de deux parallèles à cette droite (c'est cette propriété que Clairaut prend comme définition du parallèlisme).
HorocycleEn géométrie hyperbolique, un horocycle (ou parfois horicycle, du ὅριον + κύκλος — frontière + cercle) est une courbe dont les normales convergent asymptotiquement vers le même point à l'infini. Généralisant certaines propriétés des droites et des cercles euclidiens, les horocycles sont représentés dans le modèle du disque de Poincaré par des cercles tangents au cercle limite. En géométrie euclidienne, une courbe dont toutes les normales sont parallèles est une droite.
Métrique de PoincaréEn mathématiques, et plus précisément en géométrie différentielle, la métrique de Poincaré, due à Henri Poincaré, est le tenseur métrique décrivant une surface de courbure négative constante. C'est la métrique naturelle utilisée pour des calculs en géométrie hyperbolique ou sur des surfaces de Riemann.
Eugenio BeltramiEugenio Beltrami (1835-1900), appelé Eugène Beltrami en français, est un mathématicien et physicien italien. Il est connu pour ses travaux sur l'élasticité, l'hydrodynamique, l’électricité et le magnétisme, mais son nom est surtout associé à l'histoire de la géométrie, et au rôle fondamental qu'il joua dans l'affermissement des fondements de la géométrie non euclidienne. Sa famille paternelle comptait des artistes, dont son père, un peintre passionné de miniatures.
BirapportLe birapport, ou rapport anharmonique selon la dénomination de Michel Chasles est un outil puissant de la géométrie, en particulier la géométrie projective. La notion remonte à Pappus d'Alexandrie, mais son étude systématique est réalisée en 1827 par Möbius. thumb|Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C, D par rapport à A, B est : . thumb|Les divisions sont supposées régulières. Le birapport de C, D par rapport à A, B est : .
Demi-plan de PoincaréLe demi-plan de Poincaré est un sous-ensemble des nombres complexes. Il a permis au mathématicien français Henri Poincaré d'éclairer les travaux du Russe Nikolaï Lobatchevski. Le demi-plan de Poincaré est formé par les nombres complexes de partie imaginaire strictement positive. Il fournit un exemple de géométrie non euclidienne, plus précisément de géométrie hyperbolique. On considère le demi-plan supérieur : On munit le demi-plan supérieur de la métrique : Cette métrique possède une courbure scalaire constante négative : On se ramène usuellement au cas d'une courbure unité, c’est-à-dire qu'on choisit : a = 1 pour simplifier les équations.
Hyperbolic spaceIn mathematics, hyperbolic space of dimension n is the unique simply connected, n-dimensional Riemannian manifold of constant sectional curvature equal to -1. It is homogeneous, and satisfies the stronger property of being a symmetric space. There are many ways to construct it as an open subset of with an explicitly written Riemannian metric; such constructions are referred to as models. Hyperbolic 2-space, H2, which was the first instance studied, is also called the hyperbolic plane.
Modèle de l'hyperboloïdeEn géométrie, le modèle de l'hyperboloïde, également dénommé modèle de Minkowski ou modèle de Lorentz (d'après les noms de Hermann Minkowski et Hendrik Lorentz), est un modèle de géométrie hyperbolique dans un espace de Minkowski de dimension n. Ce modèle d'espace hyperbolique est étroitement lié au modèle de Klein ou au disque de Poincaré. Espace de Minkowski Si x = (x0, x1, ...
