Système à la HilbertEn logique, les systèmes à la Hilbert servent à définir les déductions formelles en suivant un modèle proposé par David Hilbert au début du : un grand nombre daxiomes logiques exprimant les principales propriétés de la logique que l'on combine au moyen de quelques règles, notamment la règle de modus ponens, pour dériver de nouveaux théorèmes. Les systèmes à la Hilbert héritent du système défini par Gottlob Frege et constituent les premiers systèmes déductifs, avant l'apparition de la déduction naturelle ou du calcul des séquents, appelés parfois par opposition systèmes à la Gentzen.
Déduction naturelleEn logique mathématique, la déduction naturelle est un système formel où les règles de déduction des démonstrations sont proches des façons naturelles de raisonner. C'est une étape importante de l'histoire de la théorie de la démonstration pour plusieurs raisons : contrairement aux systèmes à la Hilbert fondés sur des listes d'axiomes logiques plus ou moins ad hoc, la déduction naturelle repose sur un principe systématique de symétrie : pour chaque connecteur, on donne une paire de règles duales (introduction/élimination) ; elle a conduit Gentzen à inventer un autre formalisme très important en théorie de la démonstration, encore plus « symétrique » : le calcul des séquents ; elle a permis dans les années 1960 d'identifier la première instance de l'isomorphisme de Curry-Howard.
Théorie axiomatiqueQuand on parle de théorie mathématique, on fait référence à une somme d'énoncés, de définitions, de méthodes de preuve, etc. La théorie de la calculabilité en est un exemple. Par théorie axiomatique, on fait référence à quelque chose de plus précis, des axiomes et leurs conséquences, les théorèmes, énoncés dans un langage précis. Dans la suite on dira le plus souvent théorie pour théorie axiomatique, ce qui est d'usage courant en logique mathématique.
Judgment (mathematical logic)In mathematical logic, a judgment (or judgement) or assertion is a statement or enunciation in a metalanguage. For example, typical judgments in first-order logic would be that a string is a well-formed formula, or that a proposition is true. Similarly, a judgment may assert the occurrence of a free variable in an expression of the object language, or the provability of a proposition. In general, a judgment may be any inductively definable assertion in the metatheory.
Calcul des séquentsEn logique mathématique et plus précisément en théorie de la démonstration, le calcul des séquents est un système de déduction créé par Gerhard Gentzen. Le nom de ce formalisme fait référence à un style particulier de déduction ; le système original a été adapté à diverses logiques, telles que la logique classique, la logique intuitionniste et la logique linéaire. Un séquent est une suite d'hypothèses suivie d'une suite de conclusions, les deux suites étant usuellement séparées par le symbole (taquet droit), « : » (deux-points) ou encore (flèche droite) dans l'œuvre originale de Gentzen.
Règle d'inférenceDans un système logique, les régles d'inférence sont les règles qui fondent le processus de déduction, de dérivation ou de démonstration. L'application des règles sur les axiomes du système permet d'en démontrer les théorèmes. Une règle d'inférence est une fonction qui prend un -uplet de formules et rend une formule. Les formules arguments sont appelées « les prémisses » et la formule retournée est appelée la « conclusion ».
