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Concept
Tétration
Résumé
La tétration (ou encore nappe exponentielle, hyperpuissance, tour de puissances, super-exponentiation ou hyper4) est une « exponentiation itérée ». C'est le premier hyperopérateur après l'exponentiation.
Le mot-valise tétration a été forgé par Reuben Goodstein sur la base du préfixe tétra- (quatre) et itération. La tétration est utilisée pour l'écriture des grands nombres. Elle suit l'addition, la multiplication et l'exponentiation comme indiqué ci-après :
addition
multiplication
exponentiation
tétration
avec chaque fois b apparitions de la lettre a. La multiplication (a × b) peut être vue comme (b-1) itérations de l'opération "ajouter a", l'exponentiation (a) comme (b-1) itérations de l'opération "multiplier par a" donc b apparitions de la lettre a. De manière analogue, la tétration (a) peut être considérée comme (b-1) itérations de l'opération "élever à la puissance a".
On remarquera que lorsque l'on évalue une exponentiation à niveaux multiples, l'exponentiation est effectuée au niveau le plus « profond » en premier lieu (en notation, au niveau le plus élevé), c'est-à-dire de la droite vers la gauche. En d'autres termes :
n'est pas égal à .
Ceci est la règle générale pour l'ordre des opérations impliquant une exponentiation répétée.
Afin de généraliser le premier cas ci-dessus (calcul des puissances de la droite vers la gauche) de la tétration à des valeurs non entières, une nouvelle notation est nécessaire. Le second cas (calcul de la gauche vers la droite) peut être également écrit : , donc l'écriture de sa forme générale utilise toujours une notation d'exponentiation ordinaire.
Les notations dans lesquelles une tétration peut être notée (parmi celles permettant même des niveaux d'itérations plus élevés) incluent :
la notation standard : a, utilisée en premier lieu par Hans Maurer ; cette notation a été popularisée par le livre de Rudy Rucker, Infinity and the Mind.
la notation des puissances itérées de Knuth : — peut être étendue en utilisant plus de flèches (ou de manière équivalente, une flèche indexée).
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