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Concept
Suite récurrente linéaire
Résumé
En mathématiques, on appelle suite récurrente linéaire d’ordre p toute suite à valeurs dans un corps commutatif K (par exemple R ou C ; on ne se placera que dans ce cas dans cet article) définie pour tout par une relation de récurrence linéaire de la forme
où , , ... sont p scalaires fixés de K ( non nul).
Une telle suite est entièrement déterminée par la donnée de ses p premiers termes et par la relation de récurrence.
Les suites récurrentes linéaires d’ordre 1 sont les suites géométriques.
L'étude des suites récurrentes linéaires d'ordre supérieur se ramène à un problème d'algèbre linéaire. L'expression du terme général d'une telle suite est possible pour peu qu'on soit capable de factoriser un polynôme qui lui est associé, appelé polynôme caractéristique ; le polynôme caractéristique associé à une suite vérifiant la relation de récurrence ci-dessus est :
Son degré est ainsi égal à l'ordre de la relation de récurrence. En particulier, dans le cas des suites d'ordre 2, le polynôme est de degré 2 et peut donc être factorisé à l'aide d'un calcul de discriminant. Ainsi, le terme général des suites récurrentes linéaires d'ordre 2 peut être exprimé en utilisant seulement les deux premiers termes, quelques valeurs constantes, quelques opérations élémentaires de l'arithmétique (addition, soustraction, multiplication, exponentielle) et les fonctions sinus et cosinus (si le corps des scalaires est le corps des réels). Une des suites de ce type est la célèbre suite de Fibonacci, qui peut s'exprimer à partir de puissances faisant intervenir le nombre d'or.
Les suites récurrentes linéaires d'ordre 1 sont les suites géométriques.
Si la relation de récurrence est , le terme général est .
a et b étant deux scalaires fixés de K avec b non nul, la relation de récurrence est
Les scalaires r tels que la suite vérifie (R) sont les solutions de l’équation du second degré . Le polynôme est alors appelé le polynôme caractéristique de la suite. Son discriminant est . Il faudra alors distinguer plusieurs cas, selon le nombre de racines du polynôme caractéristique.
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