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Concept
Vecteur aléatoire
Résumé
Un vecteur aléatoire est aussi appelé variable aléatoire multidimensionnelle.
Un vecteur aléatoire est une généralisation à n dimensions d'une variable aléatoire réelle. Alors qu'une variable aléatoire réelle est une fonction qui à chaque éventualité fait correspondre un nombre réel, le vecteur aléatoire est une fonction X qui à chaque éventualité fait correspondre un vecteur de :
où ω est l'élément générique de Ω, l'espace de toutes les éventualités possibles.
Les applications X, ..., X sont des variables aléatoires réelles appelées composantes du vecteur aléatoire X. On note alors X = (X, ..., X).
Une application X de (définie sur Ω), à valeurs dans l'espace muni de la tribu des boréliens de , est un vecteur aléatoire si elle est mesurable.
Soit un vecteur aléatoire. Sa fonction de répartition est ainsi définie :
Deux vecteurs aléatoires sont indépendants si et seulement si la probabilité que ces vecteurs prennent une valeur donnée est égale au produit des probabilités que chaque vecteur prenne une valeur donnée. De plus la covariance des deux vecteurs est nulle.
Soit un espace probabilisé. On pose trois vecteurs aléatoires.
Par leur indépendance, on a :
Un vecteur aléatoire de dimension n est un vecteur gaussien si toute combinaison linéaire de ses composantes est une variable gaussienne.
Soit un vecteur gaussien à valeurs dans . On note son espérance et sa matrice de covariance. Soit et . Alors le vecteur aléatoire est gaussien, son espérance est et sa matrice de covariance .
Étant donné un vecteur gaussien , alors chacune de ses composantes suit une loi gaussienne. En effet, pour tout , on peut écrire : , où est le symbole de Kronecker.
En revanche, la réciproque est fausse, on peut avoir les toutes les composantes d'un vecteur qui suivent chacune une loi gaussienne, sans pour autant que soit un vecteur gaussien. Par exemple, si et sont des variables aléatoires indépendantes de lois respectives gaussiennes centrée réduite et de Rademacher, admet comme atome et ne suit donc pas une loi gaussienne, donc n'est pas un vecteur gaussien.
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