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Concept
Somme de Minkowski
Résumé
En géométrie, la somme de Minkowski est une opération sur les parties d'un espace vectoriel. À deux parties A et B elle associe leur ensemble somme, formé des sommes d'un élément de A et d'un élément de B :
La somme de deux compacts est compacte. Il est ainsi possible de restreindre l'opération à cet ensemble, qui peut être muni d'une distance, dite de Hausdorff. La somme de Minkowski est alors une opération continue. De plus elle respecte les convexes, c'est-à-dire que la somme de deux convexes est encore convexe. La mesure de la somme de deux convexes vérifie une majoration, dite inégalité de Brunn-Minkowski.
La somme de Minkowski intervient dans de nombreux domaines des mathématiques pures ou appliquées. Cet outil est à la base de nombreuses démonstrations de théorèmes isopérimétriques, visant à déterminer la partie de l'espace de plus vaste volume possible, la contrainte étant la donnée de la mesure de sa frontière. En géométrie euclidienne, on trouve les sphères de dimension n. La somme de Minkowski intervient aussi pour le comptage du nombre de face d'un polyèdre, résoudre des questions de pavages ou encore pour étudier la géométrie des convexes. Ils sont appliqués par exemple en cristallographie pour des raisons de pavages d'espace, en économie pour optimiser les productions possibles d'un groupe d'entreprises, ou encore pour étudier les mélanges.
L'ensemble de A à gauche est un triangle dont les coordonnées des sommets sont (0,-1), (0,1) et (1,0). À droite est illustré un triangle semblable B, orienté différemment. Les coordonnées sont (0,0), (1,-1) et (1,1). Si les ensembles A et B sont deux triplets, on trouve :
A + B = {(1, 0), (2, 1), (2, −1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, −1), (1, 0), (1, −2)}.
Si A et B sont les triangles illustrés en rouge, on trouve un hexagone, illustré par la figure en bas à droite.
De manière générale, la somme de deux polygones est encore un polygone. Cette propriété est vraie pour un polyèdre de dimension quelconque.
On peut remarquer l'analogie entre la somme de Minkowski et le produit de convolution.
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