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Concept
Première forme fondamentale
Résumé
La première forme fondamentale est un outil utilisé dans l'étude des surfaces de l'espace euclidien. Elle se calcule en chaque point P de la surface Σ et s'interprète comme une écriture formelle du produit scalaire euclidien usuel en restriction au plan tangent TPΣ. On note la première forme fondamentale par la lettre romaine I.
La première forme fondamentale est susceptible de généralisations dans le cadre de la géométrie riemannienne, c'est-à-dire des variétés (espaces courbes modelés localement sur l'espace euclidien) pour étudier l'inclusion d'une variété riemannienne dans une autre, ou plus généralement les façons d'appliquer une variété riemannienne dans une autre. Les notions de géodésique ou plus généralement d'application harmonique sont issues de problèmes de minimisation faisant intervenir la première forme fondamentale.
Considérons Σ une surface paramétrée par la fonction X(u,v). En un point donné, ses vecteurs tangents et sont notés respectivement Xu et Xv ; le plan tangent est généré par cette base locale (Xu, Xv), et tout vecteur tangent en ce point peut donc s'écrire comme une combinaison linéaire de ces deux vecteurs.
Alors le produit scalaire de deux vecteurs tangents s'écrit :
Les valeurs
sont appelées coefficients de la première forme fondamentale.
On peut écrire ceci sous la forme d'un tenseur :
avec gij = Xi⋅Xj, et l'on a alors, pour deux vecteurs x et y du plan tangent :
Considérons un élément de ligne ds, défini comme une petite variation de du et dv. Le carré de la longueur de cet arc peut se déterminer par :
ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2.
La longueur d'un arc paramétré de classe inclus dans la surface sera alors donné par :
où et désignent les dérivées de u et v par rapport à t.
Considérons un élément de surface dA, défini comme une petite variation de du et dv. L'aire de cet élément de surface peut s'écrire, en utilisant l'identité de Lagrange :
L'aire d'une portion de surface correspondant à l'ensemble sera alors :
Une sphère peut être paramétrée par :
ce qui donne, par différentiation :
et donc
E = sin2 v
F = 0
G = 1
Soit un angle entre 0 et .
Source officielle
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Proximité ontologique