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Concept
Seconde forme fondamentale
Résumé
La seconde forme fondamentale est une forme quadratique caractérisant certains aspects de la géométrie différentielle des surfaces. Ce concept est d'abord apparu dans l'étude des surfaces réglées avant de prendre toute sa généralité dans le cadre de la géométrie riemannienne.
Alors que la première forme fondamentale décrit la « géométrie interne » d'une surface (c'est-à-dire les propriétés qui peuvent être déterminées depuis la surface elle-même), la seconde forme fondamentale dépend de la situation de la surface dans l'espace. Elle est utile pour le calcul des courbures et apparaît par exemple dans les équations de Gauss-Codazzi. Les deux formes quadratiques fondamentales permettent de définir les notions de courbure principale, de courbure moyenne et de courbure gaussienne .
Du point de vue technique, la seconde forme fondamentale est une forme quadratique sur l'espace tangent de l'hypersurface d'une variété riemannienne.
Soit une surface Σ paramétrée par X(u, v). En un point P donné, le plan tangent (lorsqu'il est défini) est généré par les vecteurs tangents et , notés respectivement Xu et Xv. Le vecteur normal est défini comme étant le vecteur unitaire n colinéaire à Xu ∧ Xv.
Dans le repère (P, Xu, Xv, n), si la surface est localement lisse, on peut faire un développement limité de Σ sous la forme
et définir la forme quadratique
avec
Cette forme quadratique II est appelée seconde forme fondamentale. Elle peut aussi être représentée par la matrice
Les vecteurs tangents (Xu, Xv) constituent une base du plan vectoriel tangent à Σ en P ; tout vecteur tangent peut s'écrire comme combinaison linéaire de Xu et Xv. La seconde forme fondamentale appliquée à deux vecteurs w1 = aXu + bXv et w2 = cXu + dXv s'écrit
II(w1, w2) = Lac + M(ad + bc) + Nbd
et pour un seul vecteur
II(w1, w1) = La2 + 2Mab + Nb2
La seconde forme fondamentale s'exprime également à partir de l'opérateur de forme S et du produit scalaire :
II(w1, w2) = S(w1)⋅w2.
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