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Concept
Théorème fondamental de l'algèbre
Résumé
En mathématiques, le théorème fondamental de l'algèbre, aussi appelé théorème de d'Alembert-Gauss et théorème de d'Alembert, indique que tout polynôme non constant, à coefficients complexes, admet au moins une racine. En conséquence, tout polynôme à coefficients entiers, rationnels ou encore réels admet au moins une racine complexe, car ces nombres sont aussi des complexes. Une fois ce résultat établi, il devient simple de montrer que sur C, le corps des nombres complexes, tout polynôme P est scindé, c'est-à-dire constant ou produit de polynômes de degré 1.
Le temps a rendu l'expression de théorème fondamental de l'algèbre un peu paradoxale. Il n'existe en effet aucune démonstration purement algébrique de ce théorème. Il est nécessaire de faire usage de résultats topologiques ou analytiques pour sa démonstration. L'expression provient d'une époque où l'algèbre s'identifiait essentiellement avec la théorie des équations, c'est-à-dire la résolution des équations polynomiales. Les frontières de l'algèbre ont maintenant changé mais le nom du théorème est resté.
Les conséquences du théorème sont nombreuses ; en algèbre linéaire ce résultat est essentiel pour la réduction d'endomorphisme ; en analyse, il intervient dans la décomposition en éléments simples des fonctions rationnelles utilisée pour trouver une primitive. On les retrouve aussi en théorie algébrique des nombres, dans un résultat basique indiquant que toute extension algébrique du corps des rationnels peut être considérée comme un sous-corps de celui des complexes.
vignette|Jean le Rond d'Alembert est le premier à ressentir la nécessité de démontrer le théorème fondamental de l'algèbre. Sa motivation est entièrement analytique, il recherche une méthode pour trouver une primitive d'une fonction rationnelle. Sa preuve comporte une lacune, qui ne sera comblée qu'au .
L'histoire du théorème indique l'importance du résultat aux yeux des mathématiciens du . Les plus grands noms, comme ceux de d'Alembert, Euler, Lagrange ou Gauss se sont attelés à sa démonstration, avec des fortunes diverses.
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