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Concept
Nombre p-adique
Résumé
vignette|Les entiers 3-adiques, avec des représentations obtenues par dualité de Pontriaguine.
En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, pour un nombre premier fixé, les nombres p-adiques forment une extension particulière du corps des nombres rationnels, découverte par Kurt Hensel en 1897. Le corps commutatif des nombres -adiques peut être construit par complétion de , d'une façon analogue à la construction des nombres réels par les suites de Cauchy, mais pour une valeur absolue moins familière, nommée valeur absolue -adique.
Un nombre -adique peut aussi se concevoir comme une suite de chiffres en base , éventuellement infinie à gauche de la virgule (mais toujours finie à droite de la virgule), avec une addition et une multiplication qui se calculent comme pour les nombres décimaux usuels.
La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres -adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries entières dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre. De plus, la valeur absolue -adique sur le corps est une valeur absolue non archimédienne : on obtient sur ce corps une analyse différente de l'analyse usuelle sur les réels, que l'on appelle analyse p-adique.
Une construction algébrique de l'ensemble des nombres -adiques est découverte par Kurt Hensel en 1897, en cherchant à résoudre des problèmes de théorie des nombres par des méthodes calquant celles de l'analyse réelle ou complexe. En 1914, József Kürschák développe le concept de valuation, obtenant une construction topologique de ces nombres. En 1916, Alexander Ostrowski montre qu'il n'existe pas d'autre complétion de que et (résultat connu sous le nom de théorème d'Ostrowski). En 1920, Helmut Hasse redécouvre les nombres -adiques, et les utilise pour formuler le principe local-global.
Fixons un nombre premier . La valuation -adique d'un entier relatif a non nul (notée ) est l'exposant de p dans la décomposition de a en produit de facteurs premiers (c'est un cas particulier de valuation discrète).
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