vignette|Les entiers 3-adiques, avec des représentations obtenues par dualité de Pontriaguine.
En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, pour un nombre premier fixé, les nombres p-adiques forment une extension particulière du corps des nombres rationnels, découverte par Kurt Hensel en 1897. Le corps commutatif des nombres -adiques peut être construit par complétion de , d'une façon analogue à la construction des nombres réels par les suites de Cauchy, mais pour une valeur absolue moins familière, nommée valeur absolue -adique.
Un nombre -adique peut aussi se concevoir comme une suite de chiffres en base , éventuellement infinie à gauche de la virgule (mais toujours finie à droite de la virgule), avec une addition et une multiplication qui se calculent comme pour les nombres décimaux usuels.
La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres -adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries entières dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre. De plus, la valeur absolue -adique sur le corps est une valeur absolue non archimédienne : on obtient sur ce corps une analyse différente de l'analyse usuelle sur les réels, que l'on appelle analyse p-adique.
Une construction algébrique de l'ensemble des nombres -adiques est découverte par Kurt Hensel en 1897, en cherchant à résoudre des problèmes de théorie des nombres par des méthodes calquant celles de l'analyse réelle ou complexe. En 1914, József Kürschák développe le concept de valuation, obtenant une construction topologique de ces nombres. En 1916, Alexander Ostrowski montre qu'il n'existe pas d'autre complétion de que et (résultat connu sous le nom de théorème d'Ostrowski). En 1920, Helmut Hasse redécouvre les nombres -adiques, et les utilise pour formuler le principe local-global.
Fixons un nombre premier . La valuation -adique d'un entier relatif a non nul (notée ) est l'exposant de p dans la décomposition de a en produit de facteurs premiers (c'est un cas particulier de valuation discrète).
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Publications associées (3)
Concepts associés (155)
En mathématiques, dans la formalisation du langage des catégories, la limite projective est une généralisation du produit. Cette notion est duale de celle de limite inductive. Soient un ensemble ordonné, une famille d'ensembles indexée par , et pour chaque couple tel que , une application . On suppose que ces applications vérifient les deux propriétés suivantes : Une telle structure est appelée système projectif d'ensembles.
En mathématiques, un corps de nombres algébriques (ou simplement corps de nombres) est une extension finie K du corps Q des nombres rationnels. En particulier, c'est une extension algébrique : tous les éléments de K sont des nombres algébriques, dont le degré divise le degré de l'extension. C'est aussi une extension séparable car Q est de caractéristique nulle donc parfait. Tout sous-corps de C engendré par un nombre fini de nombres algébriques est un corps de nombres.
En mathématiques, et plus précisément en arithmétique élémentaire, le théorème de Bachet-Bézout ou identité de Bézout est un résultat d'arithmétique élémentaire, qui prouve l'existence de solutions à l'équation diophantienne linéaire : ax + by = pgcd(a, b) d'inconnues x et y entiers relatifs, où a et b sont des coefficients entiers relatifs et où pgcd(a, b) est le plus grand commun diviseur de a et b. Le théorème de Bézout affirme que les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si l'équation ax + by = 1 admet des solutions.
We define and study in terms of integral IwahoriâHecke algebras a new class of geometric operators acting on the Bruhat-Tits building of connected reductive groups over p-adic fields. These operator
Singular cohomology is defined by dualizing the singular chain complex for spaces. We will study its basic properties, see how it acquires a multiplicative structure and becomes a graded commutative a
Discrete mathematics is a discipline with applications to almost all areas of study. It provides a set of indispensable tools to computer science in particular. This course reviews (familiar) topics a
This year's topic is "Adelic Number Theory" or how the language of adeles and ideles and harmonic analysis on the corresponding spaces can be used to revisit classical questions in algebraic number th
We construct "generalized Heegner cycles" on a variety fibered over a Shimura curve, defined over a number field. We show that their images under the p-adic Abel-Jacobi map coincide with the values (o
We establish p-adic versions of the Manin-Mumford conjecture, which states that an irreducible subvariety of an abelian variety with dense torsion has to be the translate of a subgroup by a torsion po