Théorème de Bachet-Bézout

En mathématiques, et plus précisément en arithmétique élémentaire, le théorème de Bachet-Bézout ou identité de Bézout est un résultat d'arithmétique élémentaire, qui prouve l'existence de solutions à l'équation diophantienne linéaire : ax + by = pgcd(a, b) d'inconnues x et y entiers relatifs, où a et b sont des coefficients entiers relatifs et où pgcd(a, b) est le plus grand commun diviseur de a et b. Le théorème de Bézout affirme que les entiers a et b sont premiers entre eux si et seulement si l'équation ax + by = 1 admet des solutions. Dans l'équivalence du « théorème de Bézout », le sens réciproque — le « si » — va de soi . La première démonstration actuellement connue du sens direct — le « seulement si » — est due à Claude-Gaspard Bachet de Méziriac. Elle figure dans la seconde édition de son ouvrage Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres, parue en 1624. Au , le mathématicien Étienne Bézout a généralisé ce résultat, notamment aux polynômes. Bourbaki, dans les Éléments d’histoire des mathématiques, énonce le résultat sur un anneau principal quelconque et lui donne le nom de . thumb|Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638). Les deux théorèmes assurent l'existence d'un couple d'entiers tels que . Les démonstrations ci-dessous fournissent une seule solution, mais il en existe en général une infinité d'autres. Par exemple, le plus grand diviseur commun de 12 et 42 est 6, et l'on peut écrire mais aussi À partir d'un couple solution , il est facile de prouver que l'on a aussi : où peut varier dans Z. Le second théorème — sans le sens réciproque qui, comme déjà dit, est immédiat — est le cas particulier d = 1 du premier. Inversement, le premier se déduit du second en remarquant que a = da et b = db avec a et b entiers premiers entre eux, et que entraîne alors Ce lien permet aussi de démontrer que x et y sont premiers entre eux dans les deux équations. On peut donc se contenter de démontrer l'un ou l'autre. L'algorithme d'Euclide étendu, en fournissant un couple d'entiers solution de l'équation ax + by = pgcd(a, b), prouve le premier théorème.