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Concept
Limite projective
Résumé
En mathématiques, dans la formalisation du langage des catégories, la limite projective est une généralisation du produit. Cette notion est duale de celle de limite inductive.
Soient un ensemble ordonné, une famille d'ensembles indexée par , et pour chaque couple tel que , une application .
On suppose que ces applications vérifient les deux propriétés suivantes :
Une telle structure est appelée système projectif d'ensembles. On appelle limite projective de ce système, et l'on note l'ensemble
La définition précédente d'un système projectif d'ensembles se généralise de la catégorie des ensembles à n'importe quelle catégorie C : soit un ensemble ordonné. On appelle système projectif d'objets de C indexé par I la donnée d'une famille d'objets de C et de morphismes pour chaque couple d'indices tel que , le tout vérifiant :
Soit (Xi, fij) un système projectif dans une catégorie C. Une limite projective des Xi suivant les morphismes fij, ou, par abus de langage, une limite des Xi suivant I, ou encore tout simplement une limite projective des Xi, est, lorsqu'elle existe, un objet X de la catégorie C muni de flèches πi de X à valeurs dans Xi vérifiant les relations de compatibilité πi = fij ∘ πj pour tous i ≤ j. De plus, la donnée (X, πi) doit être universelle : pour tout autre objet Y muni d'une famille de flèches ψi vérifiant des compatibilités analogues, il existe une unique flèche u : Y → X telle que le diagramme :
soit commutatif pour tous i ≤ j.
Autrement dit, la limite projective représente le foncteur qui à un objet Y de la catégorie C associe l'ensemble .
Lorsqu'elle existe, la limite projective est unique, à isomorphisme (unique) près. On parle donc couramment de la limite projective.
La limite projective est notée : .
Si l'ordre sur I est l'égalité, un système projectif indexé par I est simplement une famille d'objets de la catégorie, et sa limite projective n'est autre que son produit.
En particulier, la limite projective du système indexé par l'ensemble vide est l'objet final.
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