Droite réelle achevée

En mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble ordonné constitué des nombres réels auxquels sont adjoints deux éléments supplémentaires : un plus grand élément, noté +∞ et un plus petit élément, noté –∞. Elle est notée [–∞, +∞], ℝ ∪ {–∞, +∞} ou (notation toutefois ambiguë, car la barre signifie généralement "complémentaire" en théorie des ensembles, ou "adhérence" en topologie). Cet ensemble est très utile en analyse, notamment pour généraliser les formules et théorèmes sur les limites sans avoir à effectuer une disjonction des cas, et dans certaines théories de l'intégration. Propriétés Opérations L'addition et la multiplication, définies sur l'ensemble des réels, sont partiellement étendues comme suit à la droite achevée. Addition Pour tout x ∈ ]–∞, +∞], x + (+∞) = +∞. Pour tout x ∈ [–∞, +∞[, x + (–∞) = –∞. Multiplication Pour tout x ∈ :

x × (+∞) = +∞ si x > 0 et –∞ si x < 0 ;
x × (–

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