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Concept
Droite réelle achevée
Résumé
En mathématiques, la droite réelle achevée désigne l'ensemble ordonné constitué des nombres réels auxquels sont adjoints deux éléments supplémentaires : un plus grand élément, noté +∞ et un plus petit élément, noté –∞. Elle est notée [–∞, +∞], R ∪ {–∞, +∞} ou (notation toutefois ambiguë, car la barre signifie généralement "complémentaire" en théorie des ensembles, ou "adhérence" en topologie).
Cet ensemble est très utile en analyse, notamment pour généraliser les formules et théorèmes sur les limites sans avoir à effectuer une disjonction des cas, et dans certaines théories de l'intégration.
L'addition et la multiplication, définies sur l'ensemble des réels, sont partiellement étendues comme suit à la droite achevée.
Pour tout x ∈ ]–∞, +∞], x + (+∞) = +∞.
Pour tout x ∈ [–∞, +∞[, x + (–∞) = –∞.
Pour tout x ∈ :
x × (+∞) = +∞ si x > 0 et –∞ si x < 0 ;
x × (–∞) = –∞ si x > 0 et +∞ si x < 0 ;
parce qu'on ne rajoute pas suffisamment d'éléments (voir « Indice d'un sous-groupe »). On préfère donc ne pas définir (+∞) + (–∞).
De même, dans le cadre des calculs de limites, on ne donne aucun sens aux produits ou quotients par 0 de +∞ ou –∞. Cependant, en théorie de la mesure et en analyse convexe, on adopte souvent la convention .
L'addition et la multiplication partiellement étendues à la droite réelle achevée sont résumées dans les tableaux suivants, les cases grisées représentant les formes indéterminées :
L'ensemble est muni d'une relation d'ordre, notée ≤, qui étend la relation d'ordre usuelle sur R. Cette relation est telle que –∞ est le plus petit élément de et +∞ le plus grand élément.
Ainsi, si , avec au sens de la relation d'ordre usuelle sur R, on a :
Comme celle sur R, la relation d'ordre usuelle sur est totale.
La droite réelle achevée est un treillis complet, c'est-à-dire que toute partie de cet ensemble admet une borne supérieure et une borne inférieure, y compris l'ensemble vide ∅ (+∞ est sa borne inférieure et –∞ sa borne supérieure, comme expliqué dans le § « Exemples » de l'article sur les bornes supérieure et inférieure).
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