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Concept
Axiome de la paire
Résumé
En mathématiques, l'axiome de la paire est l'un des axiomes de la théorie des ensembles, plus précisément des théories des ensembles de Zermelo et de Zermelo-Fraenkel.
Essentiellement, l'axiome affirme que :
deux ensembles quelconques peuvent toujours former un nouvel ensemble, que l'on appelle paire, auquel ils appartiennent tous deux et ce sont les seuls.
Dans le langage formel de l'axiomatique de Zermelo-Fraenkel, l'axiome s'écrit :
qui se lit en français :
étant donné a et b deux ensembles, il existe un ensemble c tel que, pour tout ensemble x, x est un élément de c si et seulement si x est égal à a ou à b.
L'axiome exprime que, pour deux ensembles quelconques a et b, il est possible de trouver un ensemble c dont les éléments sont précisément a et b. L'axiome d'extensionnalité peut être utilisé pour démontrer que cet ensemble c est unique. L'ensemble c est noté {a, b}. Il est appelé paire de a et de b quand a ≠ b, et singleton a, quand a = b. Dans ce dernier cas, {a, a} peut être abrégé en {a}.
En théorie des ensembles, on considère parfois qu'un singleton est un cas particulier de paire,
pour des raisons de commodité d'expression dans les premiers développements. On parle donc de la paire de a et de b même si l'on n'a pas supposé que a≠b. C'est contraire à l'usage dans le reste des mathématiques, par exemple en combinatoire (quand on compte les paires d'éléments d'un ensemble fini, on ne comprend pas les singletons). Pratiquement, les domaines sont suffisamment disjoints pour qu'il n'y ait pas d'ambiguïté.
L'axiome de la paire est suffisamment simple et primitif pour apparaître comme axiome ou être démontrable, sous une forme éventuellement restreinte (par exemple si la théorie est typée), dans n'importe quelle théorie qui axiomatise la notion d'ensemble.
L'axiome de la paire peut être généralisé aux ensembles finis quelconques. On a le schéma de propositions suivant :
qui signifie que :
étant donné des ensembles a1, ..., an il existe un ensemble c dont les éléments sont précisément a1, ..., an.
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