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Concept
Fonction xi de Riemann
Résumé
droite|vignette|300x300px| La fonction xi de Riemann dans le plan complexe La couleur d'un point code la valeur de : des couleurs sombres dénotent des valeurs proches de zéro et la nuance indique l'argument de la valeur.
En mathématiques, la fonction xi de Riemann est une variante de la fonction zêta de Riemann et est définie de manière à avoir une équation fonctionnelle particulièrement simple. La fonction est nommée en l'honneur de Bernhard Riemann.
La fonction désignée de nos jours comme la fonction ξ (prononcée "xi") de Riemann est définie pour tout par
où ζ(s) désigne la fonction zêta de Riemann et Γ(s) est la fonction Gamma. Cette notation est due à Edmund Landau. La fonction que Riemann notait ξ a été rebaptisée Ξ par Landau et satisfait
L'équation fonctionnelle de ξ est donnée par
provenant de l'équation fonctionnelle de ζ. Celle de Ξ est donnée par
De nombreuses propriétés de ξ découlent de celles de ζ : par exemple, ξ est holomorphe dans tout le plan complexe (et on a ξ(0) = ξ(1) = 1/2). De plus, tous ses zéros sont dans la bande critique et dans cette dernière, ξ possède les mêmes zéros que ζ .
La forme générale des valeurs aux entiers pairs positifs est donnée par
où désigne le n-ième nombre de Bernoulli. Par exemple, on a .
La fonction possède le développement en série
où
où la somme s'étend sur , les zéros non triviaux de la fonction zêta, dans l'ordre de la valeur absolue de sa partie imaginaire.
Cette expansion joue un rôle particulièrement important dans le critère de Li, qui stipule que l'hypothèse de Riemann équivaut à avoir pour tout n positif.
En notant un zéro quelconque de , on pose
La formule de Riemann-von Mangoldt établit alors une formule asymptotique pour cette fonction lorsque
En particulier, cela implique que possède une infinité de zéros non triviaux.
Le développement de Hadamard relatif aux zéros de est donné par
où ( étant la constante d'Euler-Mascheroni). On en déduit alors le développement pour
où (avec la même définition pour ).
Catégorie:Bernhard Riemann
Catégorie:Fonction zêt
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