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Concept
Foncteur adjoint
Résumé
L'adjonction est une situation omniprésente en mathématiques, et formalisée en théorie des catégories par la notion de foncteurs adjoints. Une adjonction entre deux catégories et est une paire de deux foncteurs et vérifiant que, pour tout objet X dans C et Y dans D, il existe une bijection entre les ensembles de morphismes correspondants
et la famille de bijections est naturelle en X et Y. On dit que F et G sont des foncteurs adjoints et plus précisément, que F est « adjoint à gauche de G » ou que G est « adjoint à droite de F ».
Soient et deux catégories localement petites, et et deux foncteurs. On dit que F est adjoint à gauche de G (ou que G est adjoint à droite de F) s'il existe un isomorphisme naturel du foncteur Hom(F(-), -) vers le foncteur Hom(-, G(-)), ces deux foncteurs allant de la catégorie vers la catégorie des ensembles. Autrement dit :
pour tout objet X de et Y de , est une bijection de l'ensemble sur l'ensemble .
pour tout morphisme f : X → X de (c'est-à-dire f : X → X de ) et tout morphisme g : Y → Y de la catégorie , le diagramme suivant commute :
center
Ainsi, si l'on a un morphisme r : F(X) → Y, alors :
En particulier, si, pour tout X de , on prend Y = F(X) et , l'image de r par est un morphisme de X vers GF(X). La famille de ces morphismes définit une transformation naturelle du foncteur vers le foncteur GF, appelée unité de l'adjonction de F et G.
De même, si, pour tout Y, on prend X = G(Y), l'image réciproque de par est un morphisme de FG(Y) vers Y. La famille de ces morphismes définit une transformation naturelle du foncteur FG vers le foncteur , appelée co-unité de l'adjonction de F et G.
L'unité et la co-unité permettent de reconstituer les bijections . En effet, pour tout morphisme r : F(X) → Y, on a , et pour tout morphisme u : X → G(Y), on a .
Le foncteur -espace vectoriel libre F qui, à un ensemble X, associe l'espace vectoriel libre sur de base X est l'adjoint du foncteur oubli G qui, à un espace vectoriel Y, associe l'ensemble Y.
De même, le foncteur module libre sur un ensemble est l'adjoint du foncteur d'oubli sur les modules.
Source officielle
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