Propriété universelle

En mathématiques, et plus précisément en théorie des catégories, une propriété universelle est la propriété des objets qui sont la solution d'un problème universel posé par un foncteur. De très nombreux objets classiques des mathématiques, comme la notion de produit cartésien, de groupe quotient, ou de compactifié, peuvent être définis comme des solutions de problèmes universels. Soit F un foncteur d'une catégorie dans la catégorie des ensembles ; un couple (A, θ) où A est un objet de et est « solution du problème universel posé par F » si la propriété suivante, dite universelle, est vérifiée : Pour tout objet X de , pour tout élément f de , il existe un unique morphisme g : A → X tel que : Le foncteur F est le foncteur associé à la propriété universelle. Lorsqu'il existe une solution (A, θ) au problème universel posé par F, la propriété universelle établit, pour tout objet X, que est une bijection entre l'ensemble Hom(A,X) des morphismes de A vers X, et F(X). est un isomorphisme naturel entre le foncteur représenté par A et le foncteur F. La relation entre l'élément θ de F(A) et cet isomorphisme naturel n'est autre que celle qui est donnée par le lemme de Yoneda. La solution d'un problème universel, lorsqu'elle existe, est unique à isomorphisme près (et cet isomorphisme est alors nécessairement unique). Soit en effet (A, θ) la solution du problème posé par le foncteur F. Si on prend pour (X, f) (A, θ) lui-même, il existe un unique morphisme g : A → A tel que F(g)(θ) = θ. Comme g = idA vérifie cette propriété, l'unicité de la solution prouve que, pour tout morphisme g : A → A, F(g)(θ) = θ implique g = idA. Soit maintenant une autre solution (B, φ) du problème posé par F. (A, θ) étant solution, en prenant (X, f) = (B, φ), il existe un morphisme g : A → B tel que F(g)(θ) = φ. Mais (B, φ) étant aussi solution, en prenant (X, f) = (A, θ), il existe un morphisme h : B → A tel que F(h)(φ) = θ. On a donc F(hg)(θ) = θ et donc hg = idA. De même, F(gh)(φ) = φ donc gh = idB.