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Concept
Extrapolation (mathématiques)
Résumé
En mathématiques, l'extrapolation est le calcul d'un point d'une courbe dont on ne dispose pas d'équation, à partir d'autres points, lorsque l'abscisse du point à calculer est au-dessus du maximum ou en dessous du minimum des points connus. En dehors de cette particularité, les méthodes sont les mêmes que pour l'interpolation. C'est, d'autre part, une méthode développée par Norbert Wiener en traitement du signal pour la prédiction.
Le choix de la méthode d'extrapolation dépend de la connaissance a priori de la méthode de génération des données. Ensuite, il faut s'intéresser aux propriétés éventuelles des données (dépendance linéaire, continuité, périodicité...).
L'extrapolation linéaire consiste à prolonger l'interpolation des données par une droite tangente à la fin des données connues et à l'étendre. Elle ne donne de bons résultats que si les données montrent une corrélation proche de la linéarité.
Si les deux points les plus proches du point de calcul x* à extrapoler sont (x , y) et (x , y), l'extrapolation linéaire s'obtient par :
On retrouve l'interpolation linéaire si (x < x* < x). On peut également choisir plusieurs points et construire une extrapolation linéaire par moyennage ou régression.
On se place dans le plan . Supposons une variable aléatoire Y, dont l'espérance dépend de x de manière affine, mais dont la variance est uniforme :
les paramètres β0 et β1 étant des constantes réelles. Pour une valeur de x donnée, Y(x) suit une loi normale.
Pour estimer la valeur de ces constantes, on dispose de n couples (xi, yi)1 ≤ i ≤ n, la valeur yi étant une réalisation de Y(xi) ; pour simplifier, on suppose que les xi sont classés par ordre croissant. En sciences expérimentales, les couples (xi, yi) sont des mesures.
La régression linéaire consiste à déterminer des estimations b0 et b1 des paramètres β0 et β1 de la loi.
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