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Concept
Vecteur de Witt
Résumé
Les vecteurs de Witt sont des objets mathématiques, généralement décrits comme des suites infinies de nombres (ou plus généralement d'éléments d'un anneau). Ils ont été introduits par Ernst Witt en 1936, afin de décrire les extensions non ramifiées des corps de nombres p-adiques. Ces vecteurs sont dotés d'une structure d'anneau ; on parle donc de l’anneau des vecteurs de Witt.
Ils apparaissent aujourd'hui dans plusieurs branches de la géométrie algébrique et arithmétique, en théorie des groupes et en physique théorique.
Soit O un anneau de valuation discrète complet, de corps résiduel k. Alors on a l'une des situations suivantes :
si k est de caractéristique zéro, alors O s'identifie à l'anneau k[[T]] des séries formelles à coefficients dans k ;
si k est de caractéristique p > 0, alors il y a deux possibilités :
ou bien O s'identifie encore à l'anneau des séries formelles à coefficients dans k ;
ou bien O est un anneau de caractéristique zéro, dont p engendre l'idéal maximal, qu'on appelle l’anneau des vecteurs de Witt sur k noté W[k].
Dans ce dernier cas, on peut fixer un ensemble de représentants de k et tout élément de W[k] s'écrit de manière unique comme une série
où les appartiennent à l'ensemble des représentants choisis.
En ce sens, on peut voir les vecteurs de Witt comme des séries formelles, ou des suites infinies d'éléments d'un anneau, sur lesquelles on a défini les opérations d'addition et de multiplication.
Étant donné p un nombre premier, tout nombre p-adique x peut s'écrire de manière unique comme une somme convergente
où les coefficients sont des éléments de {0, 1, ... , p – 1}, ou de manière générale de toute représentation du corps fini .
La question naturelle qui se pose est la suivante : si on ajoute ou multiplie deux nombres p-adiques en utilisant une telle écriture, quels sont les coefficients du résultat ? Il s'avère que l'addition et la multiplication de vecteurs de Witt p-adiques donne la réponse.
Soit p un nombre premier.
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