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Concept
Ensemble de Julia
Résumé
En dynamique holomorphe, l'ensemble de Julia et l'ensemble de Fatou sont deux ensembles complémentaires l'un de l'autre, définis à partir du comportement d'une fonction (ou d'une application) holomorphe par composition itérée avec elle-même.
Alors que l'ensemble de Fatou est l'ensemble des points en lesquels un faible changement du point de départ entraîne un faible changement sur la suite de l'itération (stabilité), l'ensemble de Julia est quant à lui, essentiellement caractérisé par le fait qu'une petite perturbation au départ se répercute en un changement radical de cette suite (chaos).
Les ensembles de Julia offrent de nombreux exemples d'ensembles fractals.
Ces deux ensembles ont été nommés en l'honneur des mathématiciens français Pierre Fatou et Gaston Julia dont les travaux, au début du , sont à l'origine d'une nouvelle branche des mathématiques, la dynamique holomorphe.
Si f est la fonction engendrant le système dynamique, on a l'habitude de noter J(f) et F(f) les ensembles de Julia et Fatou qui lui sont associés.
La définition fut initialement donnée pour les fractions rationnelles mais on peut l'étendre à d'autres classes de fonctions holomorphes.
Les polynômes sont un cas particulier de fractions rationnelles. Pour ces derniers, une autre définition est souvent utilisée : l'ensemble de Julia est la frontière du bassin d'attraction de l'infini. L'équivalence des deux définitions est un théorème. Ci-dessous est présenté un cas particulier de polynôme du second degré.
Étant donnés deux nombres complexes, c et z0, définissons la suite (zn) par la relation de récurrence :
Pour une valeur donnée de c, l'ensemble de Julia correspondant est la frontière de l'ensemble des valeurs initiales z0 pour lesquelles la suite est bornée (l'ensemble de ces valeurs étant, lui, désigné comme l'ensemble de Julia rempli).
En déplaçant le point c sur le plan complexe, nous pouvons donc imaginer un film sur lequel nous verrions défiler les ensembles de Julia correspondant aux points c parcourus.
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