Polynôme de Bell

En mathématiques, et plus précisément en combinatoire, un polynôme de Bell, nommé ainsi d'après le mathématicien Eric Temple Bell, est défini par: où la somme porte sur toutes les suites j1, j2, j3, ..., jn−k+1 d'entiers naturels telles que : et La somme est parfois appelée n-ème polynôme de Bell complet, et alors les polynômes B définis ci-dessus sont appelés des polynômes de Bell « partiels ». Les polynômes de Bell complets B peuvent être exprimés par le déterminant d’une matrice : avec δ le symbole de Kronecker. La matrice dont B est le déterminant est une matrice de Hessenberg. Si l'entier n est partitionné en une somme dans laquelle "1" apparait j1 fois, "2" apparait j2 fois, et ainsi de suite, alors le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments qui correspondent à cette partition de l'entier n quand on ne distingue plus les éléments de l'ensemble est le coefficient correspondant du polynôme. Par exemple, nous avons : car il y a : 6 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 5 + 1 ; 15 partitions de la forme 4 + 2 ; 10 partitions de la forme 3 + 3. De même : car il y a : 15 partitions d'un ensemble à 6 éléments de la forme 4 + 1 + 1 ; 60 partitions de la forme 3 + 2 + 1 ; 15 partitions de la forme 2 + 2 + 2. avec . pour . avec . Soit une fonction infiniment dérivable en un point et de réciproque , alors : En prenant (soit ) infiniment dérivable en 0, on a : d’où : soit : En prenant avec (soit ) infiniment dérivable en 1, on a : avec la factorielle décroissante, d’où : avec la factorielle décroissante. Cas général Cas particuliers Cas général Cas particuliers Autre expression avec la factorielle décroissante. Pour des suites xn, yn, n = 1, 2, ..., on peut définir un produit de convolution par : (les bornes de sommation étant 1 et n − 1, et non 0 et n). Soit le n-ème terme de la suite Alors : La formule de Faà di Bruno peut être énoncée à l'aide des polynômes de Bell de la manière suivante : De même, on peut donner une version de cette formule concernant les séries formelles : supposons que et Alors : Les polynômes de Bell complets apparaissent dans l’exponentielle d’une série formelle : Pour une variable aléatoire réelle dont le moment d’ordre existe, on a : avec le moment ordinaire d’ordre et les cumulants d’ordre à .