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Concept
Chat d'Arnold
Résumé
En mathématiques, l'application chat d'Arnold est une certaine bijection du tore vers lui-même.
Cette fonction sert à illustrer des comportements chaotiques en théorie des systèmes dynamiques. Elle porte ce nom inhabituel parce que Vladimir Arnold l'a décrite en 1967 en s'aidant du dessin d'un chat.
thumb|L'effet de l'opération modulo sur le parallélogramme.
On peut repérer les points sur le tore à l'aide de deux coordonnées x et y chacune dans l'intervalle [0, 1], cela revient à « déplier » ce tore pour obtenir un carré. L'application chat d'Arnold est définie par :
De façon intuitive, en raisonnant sur le carré [0,1]×[0, 1] représentant le tore déplié, cela revient d'abord à déformer le carré en un parallélogramme haut de 3 unités et large de 2. Ensuite, l'opération modulo remet les bouts qui dépassent du carré original dans ce carré (schéma ci-contre). Comme on travaille en réalité sur le tore et non dans le plan, l'opération modulo n'introduit pas de discontinuité.
L'application linéaire associée à l'application affine est une application linéaire bijective du tore dans lui-même (un automorphisme) dont la matrice est .
Pour se faire une idée intuitive de l'effet d'ensemble de cette transformation, on peut ne plus raisonner sur un seul point, mais sur une image complète (illustration ci-dessus). On voit que l'image est « étirée » et « enroulée » sur le tore.
Le déterminant vaut 1, donc la fonction chat d'Arnold conserve les aires.
Si l'on calcule les valeurs propres, on trouve deux valeurs propres réelles, l'une plus grande que 1, l'autre plus petite que 1 :
Comme la matrice est symétrique, les espaces propres sont orthogonaux. Ces deux axes (schéma plus haut) sont globalement stables par la transformation. Sur l'un d'entre eux, l'image se dilate (valeur propre plus grande que 1) alors que sur l'autre, l'image se contracte (valeur propre plus petite que 1). Le seul point invariant est l'origine du repère.
Si l'on applique plusieurs fois de suite la transformation, l'image va toujours plus s'étirer, tout en conservant la même aire.
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