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Concept
Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki
Résumé
Le théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki est un résultat de compacité en analyse fonctionnelle, dû à Stefan Banach dans le cas d'un espace vectoriel normé séparable et généralisé en 1938 par Leonidas Alaoglu puis Nicolas Bourbaki.
Si E est un R-espace vectoriel topologique et V un voisinage de 0, alors l'ensemble polaire V° de V, défini par
est une partie compacte du dual topologique E' pour la topologie faible-.
Dans le cas où E est un espace vectoriel normé, cela revient à dire que la boule unité fermée de E' (pour la norme de la topologie forte) est -faiblement compacte, ou encore, que toute partie de E' fortement bornée est -faiblement relativement compacte.
Dans un espace de Banach réflexif (en particulier un espace de Hilbert), la topologie faible- coïncide avec la topologie faible et toute suite bornée admet une sous-suite faiblement convergente.
Le dual topologique E''', muni de la topologie faible-, est un sous-espace du produit R.
Dans ce produit, V° est inclus dans un produit de segments (car V est absorbant) donc dans un compact (d'après le théorème de Tychonoff dans le cas séparé — équivalent à une version affaiblie de l'axiome du choix).
Enfin, V° est fermé, comme intersection des fermés F qui définissent la linéarité d'un élément de R :
et des fermés G qui imposent les contraintes sur V :
En effet, une forme linéaire sur E qui vérifie ces contraintes est automatiquement continue, car bornée sur le voisinage V de 0.
Si un espace vectoriel normé E est séparable alors la boule unité B de son dual topologique (munie de la topologie faible-) est métrisable donc sa compacité équivaut à sa compacité dénombrable et à sa compacité séquentielle. On peut démontrer directement cette dernière de façon plus élémentaire :
Si E n'est pas séparable, le compact B peut ne pas être séquentiellement compact : un contre-exemple est fourni par E'' = l = C(βN).
Théorème d'Eberlein-Šmulian
Théorème de Goldstine
Théorème de sélection de Helly
Théorème de James
Dual d'un espace vectoriel topologique
Applications du théorème de Tykhonov aux espaces vectoriels normés sur le site les-mathematiques.
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