Matrice élémentaire

Résumé

Une matrice est dite élémentaire lorsqu'elle est obtenue en appliquant une seule opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité. Les opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice sont les suivantes :

permuter deux lignes entre elles ;
ajouter un multiple d'une ligne à une autre ligne ;
multiplier une ligne par un scalaire non nul.

Exemples Propriétés Un examen direct des trois types montre que toute matrice élémentaire est inversible et de transposée élémentaire. Multiplier à gauche une matrice A par une matrice élémentaire résultant d'une opération élémentaire sur les lignes de la matrice identité revient à effectuer l'opération correspondante sur les lignes de A (on retrouve ainsi que toute matrice élémentaire est inversible : son inverse correspond à l'opération élémentaire inverse). En notant M la matrice élémentaire associée à une certaine opération élémentaire sur les lignes, effectuer sur A l'opération élément

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_%C3%A9l%C3%A9mentaire

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L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et de démontrer rigoureusement les résultats principaux de ce sujet.

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TFHE: Fast Fully Homomorphic Encryption Over the Torus

This work describes a fast fully homomorphic encryption scheme over the torus (TFHE) that revisits, generalizes and improves the fully homomorphic encryption (FHE) based on GSW and its ring variants. The simplest FHE schemes consist in bootstrapped binary gates. In this gate bootstrapping mode, we show that the scheme FHEW of Ducas and Micciancio (Eurocrypt, 2015) can be expressed only in terms of external product between a GSW and an LWE ciphertext. As a consequence of this result and of other optimizations, we decrease the running time of their bootstrapping from 690 to 13 ms single core, using 16 MB bootstrapping key instead of 1 GB, and preserving the security parameter. In leveled homomorphic mode, we propose two methods to manipulate packed data, in order to decrease the ciphertext expansion and to optimize the evaluation of lookup tables and arbitrary functions in RingGSW-based homomorphic schemes. We also extend the automata logic, introduced in Gama et al. (Eurocrypt, 2016), to the efficient leveled evaluation of weighted automata, and present a new homomorphic counter called TBSR, that supports all the elementary operations that occur in a multiplication. These improvements speed up the evaluation of most arithmetic functions in a packed leveled mode, with a noise overhead that remains additive. We finally present a new circuit bootstrapping that converts LWE ciphertexts into low-noise RingGSW ciphertexts in just 137 ms, which makes the leveled mode of TFHE composable and which is fast enough to speed up arithmetic functions, compared to the gate bootstrapping approach. Finally, we provide an alternative practical analysis of LWE based schemes, which directly relates the security parameter to the error rate of LWE and the entropy of the LWE secret key, and we propose concrete parameter sets and timing comparison for all our constructions.

SPRINGER2020

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Some remarks on orbit sets of unimodular rows

Jean Fasel

Let A be a d-dimensional smooth algebra over a perfect field of characteristic not 2. Let Um(n+1)(A)/En+1 (A) be the set of unimodular rows of length n + 1 up to elementary transformations. If n >= (d + 2)/2, it carries a natural structure of group as discovered by van der Kallen. If n = d >= 3, we show that this group is isomorphic to a cohomology group H-d (A, G(d+1)). This extends a theorem of Morel, who showed that the set Um(d+1)(A)/SLd+1(A) is in bijection with H-d (A, G(d+1))/SLd+1(A). We also extend this theorem to the case d = 2. Using this, we compute the groups Um(d+1)(A)/Ed+1(A) when A is a real algebra with trivial canonical bundle and such that Spec(A) is rational. We then compute the groups Um(d+1)(A)/SLd+1 (A) when d is even, thus obtaining a complete description of stably free modules of rank d on these algebras. We also deduce from our computations that there are no stably free non free modules of top rank over the algebraic real spheres of dimension 3 and 7.

2011

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Let R be a unital commutative ring, and let M be an R-module that is generated by k elements but not less. Let be the subgroup of generated by the elementary matrices. In this paper we study the action of by matrix multiplication on the set of unimodular rows of M of length . Assuming R is moreover Noetherian and quasi-Euclidean, e.g., R is a direct product of finitely many Euclidean rings, we show that this action is transitive if . We also prove that is equipotent with the unit group of where is the first invariant factor of M. These results encompass the well-known classification of Nielsen non-equivalent generating tuples in finitely generated Abelian groups.

Springer Verlag2017

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