En mathématiques, le terme « épimorphisme » peut avoir deux sens.
En théorie des catégories, un épimorphisme (aussi appelé epi) est un morphisme f : X → Y qui est simplifiable à droite de la manière suivante:
g1 o f = g2 o f implique g1 = g2 pour tout morphisme g1, g2 : Y → Z.
Suivant ce diagramme, on peut voir les épimorphismes comme des analogues aux fonctions surjectives, bien que ce ne soit pas exactement la même chose. Le dual d'un épimorphisme est un monomorphisme (c'est-à-dire qu'un épimorphisme dans une catégorie C est un monomorphisme dans la catégorie duale Cop).
En algèbre générale, un épimorphisme est un homomorphisme qui est surjectif.
Tout épimorphisme au sens de l'algèbre générale est donc un épimorphisme au sens de la théorie des catégories, mais l'inverse n'est pas vrai dans toutes les catégories, par exemple dans celle des anneaux.
Tout isomorphisme est un épimorphisme.
Soit une catégorie et et deux epi dans . Alors est epi dans .
Si la flèche produit est epi, alors la flèche est epi.
Toute rétraction est epi.
Soit A et B deux ensembles. Si l'application est une surjection, alors la flèche u de domaine A et de codomaine B est epi dans Ens; réciproquement, si u est epi dans Ens, alors u est une surjection. Autrement dit, les epi dans Ens sont les surjections.
Tout epi dans Ens admet une section. C'est là une forme de l'axiome du choix.
On voit immédiatement que pour que u soit epi dans Grp, il suffit que u soit une surjection; il est beaucoup moins évident que, pour que u soit epi, il faut que ce soit une surjection.
Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. . (now free on-line edition)
Bergman, George M. (1998), An Invitation to General Algebra and Universal Constructions, Harry Helson Publisher, Berkeley. .
Linderholm, Carl (1970). A Group Epimorphism is Surjective. American Mathematical Monthly 77, pp. 176–177. Proof summarized by Arturo Magidin in .
Catégorie:Théorie des catégories
Caté
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En mathématiques, le morphisme est la relative similitude d'objets mathématiques considérés du point de vue de ce qu'ils partagent comme entités ou par leurs relations. En algèbre générale, un morphisme (ou homomorphisme) est une application entre deux structures algébriques de même espèce, c'est-à-dire des ensembles munis de lois de composition interne ou externe (par exemple deux groupes ou deux espaces vectoriels), qui respectent certaines propriétés en passant d'une structure à l'autre.
En mathématiques, la catégorie des groupes abéliens est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes abéliens. La catégorie des groupes abéliens est la catégorie Ab définie ainsi : Les objets sont les groupes abéliens ; Les morphismes entre objets sont les morphismes de groupes. C'est donc une sous-catégorie pleine de la catégorie Grp des groupes. La catégorie des groupes abéliens s'identifie à la catégorie des modules sur : La catégorie Ab est monoïdale, et permet donc de définir une structure enrichie.
En mathématiques, le terme « épimorphisme » peut avoir deux sens. 1) En théorie des catégories, un épimorphisme (aussi appelé epi) est un morphisme f : X → Y qui est simplifiable à droite de la manière suivante: g1 o f = g2 o f implique g1 = g2 pour tout morphisme g1, g2 : Y → Z. Suivant ce diagramme, on peut voir les épimorphismes comme des analogues aux fonctions surjectives, bien que ce ne soit pas exactement la même chose. Le dual d'un épimorphisme est un monomorphisme (c'est-à-dire qu'un épimorphisme dans une catégorie C est un monomorphisme dans la catégorie duale Cop).
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