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Concept
Série entière
Résumé
En mathématiques et particulièrement en analyse, une série entière est une série de fonctions de la forme
où les coefficients a forment une suite réelle ou complexe. Une explication de ce terme est qu'.
Les séries entières possèdent des propriétés de convergence remarquables, qui s'expriment pour la plupart à l'aide de son rayon de convergence R, grandeur associée à la série. Sur le disque de convergence (disque ouvert de centre 0 et de rayon R), la fonction somme de la série peut être dérivée indéfiniment terme à terme.
Réciproquement, certaines fonctions indéfiniment dérivables peuvent être écrites au voisinage d'un de leurs points c comme somme d'une série entière de la variable z – c : celle-ci est alors leur série de Taylor. On parle dans ce cas de fonctions développables en série entière au point c. Lorsqu'une fonction est développable en série entière en tout point d'un ouvert, elle est dite analytique sur cet ouvert.
Les séries entières apparaissent en analyse, mais aussi en combinatoire en tant que fonctions génératrices et se généralisent dans la notion de série formelle.
Dans ce qui suit, la variable z est réelle ou complexe.
Une série entière de variable z est une série de terme général az, où n est un entier naturel, et est une suite de nombres réels ou complexes. L'usage veut que l'on adopte la notation ou pour parler d'une série entière, tandis que l'on écrira pour son éventuelle somme, en cas de convergence, pour un z donné. L'expression pourrait provenir d'une abréviation de , ou du développement en série de Taylor des fonctions entières.
Rayon de convergence
Une bonne partie des propriétés de convergence d'une série entière peuvent être exprimées à l'aide de la quantité suivante, appelée rayon de convergence de la série
Ces propriétés se fondent sur le lemme suivant, dû à Abel (à ne pas confondre avec le théorème d'Abel, lequel est utilisé pour démontrer la continuité de la somme de la série à la frontière du disque de convergence).
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