En mathématiques, un H-espace est une version d'une généralisation de la notion de groupe topologique, dans laquelle les axiomes d' sont supprimés.
Un H-espace est constitué d'un espace topologique X, ainsi que d'un élément e de X et d'une application continue , tel que et les applications et sont toutes les deux homotopes à l'application identité relativement à e. Cet espace peut être considéré comme un espace topologique pointé avec une multiplication continue pour laquelle le point de base est un , à homotopie près préservant le point de base.
On dit qu'un espace topologique X est un H-espace s'il existe e et tels que le triplet est un H-espace comme dans la définition ci-dessus. Alternativement, un H-espace peut être défini sans imposer que le point base e soit fixé par les homotopies, ou en exigeant que e soit l'identité, sans aucune considération homotopique. Dans le cas d'un CW-complexe, ces trois définitions sont en fait équivalentes.
La définition standard du groupe fondamental, ainsi que le fait qu'il s'agit d'un groupe, peut être reformulée en disant que l'espace des lacets d'un espace topologique pointé a la structure d'un H-groupe, équipé des opérations standard de concaténation et d'inversion. De plus, une application continue préservant les points de base de l'espace topologique pointé induit un H-morphisme des espaces de lacets correspondants ; cela reflète le morphisme de groupes sur les groupes fondamentaux induit par une application continue.
Il est immédiat de vérifier que, étant donné une équivalence d'homotopie pointée d'un H-espace à un espace topologique pointé, il existe une structure naturelle de H-espace sur ce dernier. Ainsi, l'existence d'une structure de H-espace sur un espace donné ne dépend que de son type d'homotopie pointée.
La structure multiplicative d'un espace H ajoute une structure à ses groupes d'homologie et de cohomologie. Par exemple, l' d'un H-espace connexe par arcs dont les modules de cohomologie sont libres de type fini est une algèbre de Hopf.
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On étudie des notions de topologie générale: unions et quotients d'espaces topologiques; on approfondit les notions de revêtements et de groupe fondamental,et d'attachements de cellules et on démontre
La théorie de l'homotopie est une branche des mathématiques issue de la topologie algébrique dans laquelle les espaces et applications sont considérés à homotopie près. La notion topologique de déformation est étendue à des contextes algébriques notamment via les structures de complexe différentiel puis d’algèbre A. Étant donné deux équivalences d’homotopie f : X′ → X et g : Y → Y′, l’ensemble des classes d'homotopie des applications continues entre X et Y s’identifie à celui des applications entre X′ et Y′ par composition avec f et g.
En mathématiques, l'espace des lacets d'un espace topologique pointé est l'ensemble des applications continues d'un segment dans cet espace, tel que l'image des deux extrémités du segment coïncide avec le point de base. Muni de la topologie compacte-ouverte, il s'agit d'un invariant homotopique. La concaténation et le renversement des lacets en font un h-groupe. L'espace des lacets d'un CW-complexe a le type d'homotopie d'un CW-complexe. L’espace des lacets est la cofibre de l’inclusion de l’espace des chemins pointés dans l’espace des chemins.
En mathématiques, un groupe topologique est un groupe muni d'une topologie compatible avec la structure de groupe, c'est-à-dire telle que la loi de composition interne du groupe et le passage à l'inverse sont deux applications continues. L'étude des groupes topologiques mêle donc des raisonnements d'algèbre et de topologie. La structure de groupe topologique est une notion essentielle en topologie algébrique. Les deux axiomes de la définition peuvent être remplacés par un seul : Un morphisme de groupes topologiques est un morphisme de groupes continu.
Explore la généralisation et la structure des groupes homotopiques supérieurs, y compris leur abéliosité, leur contexte historique et leurs propriétés des espaces H.
The starting point for this project is the article of Kathryn Hess [11]. In this article, a homotopic version of monadic descent is developed. In the classical setting, one constructs a category D(𝕋) of coalgebras in the Eilenberg-Moore category of ...