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Concept
Multi-indice
Résumé
En mathématiques, les multi-indices généralisent la notion d'indice entier en permettant d'envisager plusieurs variables entières pour une indexation. L'utilisation des multi-indices a pour but de simplifier les formules qu'on rencontre dans le calcul à plusieurs variables, que ce soit pour le calcul polynomial ou en analyse vectorielle.
Un multi-indice de taille n est un vecteur
à coefficients entiers positifs.
Au multi-indice α est associé
sa longueur (parfois appelée module) , définie par :
On utilise pour un vecteur de composantes ,
une notation sous forme d'exponentiation pour représenter le calcul polynomial
Et on peut introduire l'opérateur différentiel
Il faut prendre garde à n'utiliser cette notation que dans le cas de fonctions pour lesquelles l'ordre des dérivations n'importe pas (c'est-à-dire vérifiant par exemple les conditions du théorème de Schwarz).
Plus généralement, on peut définir un opérateur différentiel d'ordre N pour n variables par une formule telle que
Pour écrire les formules classiques, on introduit une multi-factorielle généralisant la factorielle :
Et il est possible de généraliser les coefficients binomiaux :
Les coefficients multinomiaux peuvent également s'écrire à l'aide d'une notation multi-indice :
où
Enfin pour décrire les domaines d'indexation il est utile de donner une relation d'ordre partielle sur les multi-indices
Avec ces notations un certain nombre de formules classiques s'écrivent de façon relativement compacte et admettent des généralisations vectorielles.
Généralisation de la formule du binôme de Newton
On peut également donner une écriture compacte de la formule du multinôme
Il est souvent utile de disposer de l'effet d'un opérateur différentiel sur un monôme
Généralisation de la formule de Leibniz pour deux fonctions numériques suffisamment régulières u, v
Il en découle une formule d'intégration par parties : pour des fonctions suffisamment régulières dont l'une au moins est à support compact il vient
Formule qui est utile par exemple en distribution.
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