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Concept
Méthode des différences finies
Résumé
En analyse numérique, la méthode des différences finies est une technique courante de recherche de solutions approchées d'équations aux dérivées partielles qui consiste à résoudre un système de relations (schéma numérique) liant les valeurs des fonctions inconnues en certains points suffisamment proches les uns des autres.
Cette méthode apparaît comme étant la plus simple à mettre en œuvre car elle procède en deux étapes : d'une part la discrétisation par différences finies des opérateurs de dérivation/différentiation, d'autre part la convergence du schéma numérique ainsi obtenu lorsque la distance entre les points diminue.
différence finie
Une discrétisation des opérateurs différentiels (dérivées premières, secondes, etc., partielles ou non) peut être obtenue par les formules de Taylor.
La formulation de Taylor-Young est préférable dans son utilisation simple, la formulation de Taylor avec reste intégral de Laplace permet de mesurer les erreurs (cf. plus bas).
Si u est définie sur un voisinage d'un point x et trois fois dérivable en x, la formule de Taylor-Young conduit aux deux relations :
où les deux fonctions ε(h) convergent vers 0 avec h. Par conséquent
correspondent à deux approximations de u(x) du en h. La variable scalaire h est appelée pas du schéma aux différences.
En soustrayant les développements précédents, ce qui revient à faire la moyenne des deux différences finies antérieure et postérieure à u(x), on obtient
qui est une approximation de u(x) du en h.
Décentrage aval
Si u est définie sur un voisinage à droite d'un point x et trois fois dérivable en x, la formule de Taylor-Young conduit à la relation :
où la fonction ε(h) converge vers 0 avec h. Par conséquent
correspond à une approximation de u(x) du en h.
En répétant l'opération pour un décentrage aval, en écrivant que :
d'où
qui est une approximation de u'(x) du en h.
En étendant la taille du stencil, il est possible de déterminer des différences finies d'ordres supérieurs par des méthodes similaires (augmentation de l’ordre dans la formule de Taylor et détermination d'une combinaison linéaire adaptée pour annuler les termes superflus).
Source officielle
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