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Concept
Suite de Cauchy
Résumé
En analyse mathématique, une suite de Cauchy est une suite de réels, de complexes, de points d'un espace métrique ou plus généralement d'un espace uniforme, dont les termes se rapprochent les uns des autres. Ces suites sont celles susceptibles de converger. Elles sont au centre de la définition de la complétude. Les suites de Cauchy portent le nom du mathématicien français Augustin Louis Cauchy.
Cette notion se généralise, dans un espace uniforme, par celles de filtre de Cauchy et de suite généralisée de Cauchy.
Une suite (r) de réels ou de complexes est dite de Cauchy, ou vérifie le critère de Cauchy, lorsque les termes de la suite se rapprochent uniformément les uns des autres en l'infini au sens où :
Cette dernière condition se réécrit classiquement à l'aide de quantificateurs universels et existentiels :
ou encore :
L'uniformité dans la définition est importante : il ne suffit pas que la différence des termes consécutifs d'une suite tende vers 0 pour que cette suite soit de Cauchy. Par exemple, la suite (H) des sommes partielles de la série harmonique vérifie H – H = 1/n+1 → 0 mais (H) n'est pas de Cauchy ni même bornée, puisqu'elle tend vers +∞.
Remarque: ce critère s'étend à R , en particulier à C ≅ R.
Une suite dans un espace métrique (E, d) est dite de Cauchy si :
ce qui équivaut à
ou plus synthétiquement, si
ou encore si le diamètre de l'ensemble des termes d'indices supérieur à n tend vers 0 quand n tend vers l'infini :
Les suites de Cauchy de réels sont donc un cas particulier de cette définition, en prenant, comme distance sur R, la valeur absolue de la différence.
Les inégalités autres que ε > 0 peuvent être prises indifféremment larges ou strictes.
Intuitivement, les termes de la suite deviennent de plus en plus proches les uns des autres d'une certaine façon qui suggère que la suite doit avoir une limite dans l'espace. Les suites convergentes sont effectivement de Cauchy, mais la réciproque n'est pas vraie en toute généralité. Par exemple, certaines suites de Cauchy de rationnels convergent vers un irrationnel, donc convergent dans R mais pas dans Q.
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