Concept

Espace complet

Résumé
En mathématiques, un espace métrique complet est un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge. La propriété de complétude dépend de la distance. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet. Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ». Par exemple, les nombres rationnels ne forment pas un espace complet, puisque n'y figure pas alors qu'il existe une suite de Cauchy de nombres rationnels ayant cette limite. Il est toujours possible de « remplir les trous » amenant ainsi à la complétion d'un espace donné. La complétude peut être définie plus généralement pour les espaces uniformes, comme les groupes topologiques. Exemples
  • Soit l'espace ℚ des nombres rationnels muni de la distance usuelle d(x, y) = |x – y|. Cet espace n'est pas complet. En effet, considérons la suite définie par :x_0=2\qquad\text{et}\qquad x_{n+1} = {x_n \over 2} + {1 \over
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