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Concept
Espace complet
Résumé
En mathématiques, un espace métrique complet est un espace métrique dans lequel toute suite de Cauchy converge. La propriété de complétude dépend de la distance. Il est donc important de toujours préciser la distance que l'on prend quand on parle d'espace complet.
Intuitivement, un espace est complet s'il « n'a pas de trou », s'il « n'a aucun point manquant ». Par exemple, les nombres rationnels ne forment pas un espace complet, puisque n'y figure pas alors qu'il existe une suite de Cauchy de nombres rationnels ayant cette limite. Il est toujours possible de « remplir les trous » amenant ainsi à la complétion d'un espace donné.
La complétude peut être définie plus généralement pour les espaces uniformes, comme les groupes topologiques.
Soit l'espace Q des nombres rationnels muni de la distance usuelle d(x, y) = |x – y|. Cet espace n'est pas complet. En effet, considérons la suite définie par :C'est une suite de Cauchy de nombres rationnels, mais elle ne converge vers aucune limite appartenant à Q. En fait, considérée comme suite de nombres réels, elle converge vers la racine carrée de 2, qui est un nombre irrationnel.
L'intervalle ouvert ]0, 1[ muni de la distance usuelle n'est pas complet non plus : la suite (1/2, 1/3, 1/4...) est de Cauchy mais elle n'a pas de limite dans l'intervalle.
L'intervalle réel fermé [0, 1] muni de la distance usuelle est complet.
L'espace R des nombres réels et l'espace C des nombres complexes, munis de la distance usuelle d(x, y) = |x – y|, sont complets.
Tous les espaces vectoriels normés de dimension finie sur R sont des espaces de Banach, c'est-à-dire des espaces vectoriels normés complets. Remarque : sur R, comme sur tout espace vectoriel réel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, en particulier les trois les plus utilisées : ǁ ǁ1, ǁ ǁ2 et ǁ ǁ∞.
L'espace Q des nombres p-adiques muni de la distance p-adique est complet pour tout nombre premier p. Cet espace complète Q avec la métrique p-adique tout comme R complète Q avec la métrique usuelle.
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