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Concept
Fonction analytique
Résumé
vignette|Tracé du module de la fonction gamma (son prolongement analytique) dans le plan complexe.
En mathématiques, et plus précisément en analyse, une fonction analytique est une fonction d'une variable réelle ou complexe qui est développable en série entière au voisinage de chacun des points de son domaine de définition, c'est-à-dire que pour tout de ce domaine, il existe une suite donnant une expression de la fonction, valable pour tout assez proche de , sous la forme d'une série convergente :
Toute fonction analytique est dérivable de dérivée analytique, ce qui implique que toute fonction analytique est indéfiniment dérivable, mais la réciproque est fausse en analyse réelle. En revanche, en analyse complexe, toute fonction simplement dérivable sur un ouvert est analytique et vérifie de nombreuses autres propriétés.
Fonction holomorphe
Qu'elle soit de variable réelle ou complexe, une fonction analytique sur un ouvert connexe et non identiquement nulle a ses zéros isolés. Cette propriété induit l'unicité du prolongement analytique sur tout ouvert connexe.
Soit une fonction d'une variable complexe, où est un ouvert de . On dit que la fonction est analytique sur si pour tout , il existe une suite de nombres complexes et un réel tel que, pour tout , c'est-à-dire pour tout dans le disque (ouvert) de centre et de rayon , supposé inclus dans , la fonction s'exprime sous forme de la série convergente :
Autrement dit, une fonction est analytique si elle est développable en série entière au voisinage de chaque point de son ensemble ouvert de définition.
La même définition s'applique à une fonction de variable réelle , définie sur un intervalle ouvert borné ou non, en remplaçant le disque par l'intervalle ouvert .
Une fonction analytique sur tout entier est dite entière.
Si une fonction de la variable complexe est analytique alors elle est holomorphe. Il existe d'ailleurs une réciproque à cette proposition : toute fonction holomorphe sur un ouvert est analytique sur celui-ci.
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