Hendécagone

Un hendécagone ou undécagone est un polygone à 11 sommets, donc 11 côtés et 44 diagonales. La somme des angles internes d'un hendécagone non croisé est égale à °. Un hendécagone régulier est un hendécagone dont les onze côtés ont la même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a cinq : quatre étoilés (les hendécagrammes notés {11/2}, {11/3}, {11/4} et {11/5}) et un convexe (noté {11}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on dit « l'hendécagone régulier ». Regular_star_polygon_11-2.svg|{11/2} Regular_star_polygon_11-3.svg|{11/3} Regular_star_polygon_11-4.svg|{11/4} Regular_star_polygon_11-5.svg|{11/5} Le nombre premier 11 n'est pas un nombre de Fermat ; il est donc impossible de construire à la règle et au compas un hendécagone régulier ; en 2014, une construction par neusis en a cependant été découverte. L'aire de l'hendécagone régulier de côté a vaut (11a/4) cot(π/11). Il est impossible d'obtenir une construction exacte à la règle et au compas d'un hendécagone régulier, d'après le théorème de Gauss-Wantzel, ou plus simplement par un corollaire du théorème de Wantzel : le degré du polynôme minimal de e (c'est-à-dire le degré du polynôme cyclotomique Φ(X) = 1 + X + X + ... + X) n'est pas une puissance de 2 donc n'est pas un nombre de Fermat. Cependant, en s'inspirant de la construction de l'ennéagone ou de l'heptagone, on peut tracer une construction approchée d'un hendécagone régulier, à la règle et au compas. Tracer le cercle de centre O de rayon OX, avec un angle AÔB = 120°. Tracer l'arc de cercle de rayon XY et de centre X Tracer l'arc de cercle de rayon YX et de centre Y Ces arcs se coupent en U Tracer les droites (UA) et (UB). Elles coupent le diamètre (XY) en C et D À partir de C, sur une droite quelconque, porter avec un compas onze segments égaux CE = EF = FG = ... Le troisième point sera noté G, le sixième sera noté H, le neuvième I, le onzième K. Tracer la droite (KD) et mener par G une parallèle à celle-ci GG’(au moyen de la règle et du compas), qui coupe (XY) en G’.