Ensemble de Cantor

En mathématiques, l'ensemble de Cantor (ou ensemble triadique de Cantor, ou poussière de Cantor), est un sous-ensemble remarquable de la droite réelle construit par le mathématicien allemand Georg Cantor. Il s'agit d'un sous-ensemble fermé de l'intervalle unité [0, 1], d'intérieur vide. Il sert d'exemple pour montrer qu'il existe des ensembles infinis non dénombrables mais négligeables au sens de la mesure de Lebesgue. C'est aussi le premier exemple de fractale (bien que le terme ne soit apparu qu'un siècle plus tard), et il possède une dimension non entière. Il admet enfin une interprétation sous l'angle du développement des réels en base 3. Pour cette raison, il est souvent noté K. On le construit de manière itérative à partir du segment [0, 1] en enlevant le tiers central ; puis on réitère l'opération sur les deux segments restants, et ainsi de suite. On peut voir les six premières itérations du procédé sur le schéma suivant : On dénote par l'opérateur « enlever le tiers central » : On note et on définit par récurrence une suite de parties de [0, 1] par la relation : On a : Alors l'ensemble de Cantor est la « limite » de quand tend vers : thumb|Positions de 1/4, 2/3 et 1 dans l'ensemble de Cantor, avec 1/4 dans K3. On peut aussi définir l'ensemble de Cantor via l'écriture en base 3. En effet tout réel peut s'écrire : avec . On écrit alors Cette écriture est unique à ceci près : on peut remplacer par (et par ) à la fin d'une écriture. Si on choisit de faire cette transformation on peut alors définir par : Ou plus formellement : Par exemple le réel 1/3 est dans cet ensemble, puisqu'il admet les deux écritures 0,1000... et 0,02222... en base 3. Le réel 2/3 également (0,2000... ou 0,12222...). On peut remarquer que parmi les nombres admettant un développement propre et un développement impropre, il n'en existe aucun dont les deux écritures vérifient la propriété demandée. L'ensemble de Cantor est de mesure nulle, c'est-à-dire négligeable au sens de la mesure de Lebesgue.