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Concept
Cube
Résumé
En géométrie euclidienne, un cube est un prisme droit dont toutes les faces sont carrées donc égales et superposables. Le cube figure parmi les solides les plus remarquables de l'espace. C'est le seul des cinq solides de Platon ayant exactement 6 faces, 12 arêtes et 8 sommets. Son autre nom est « hexaèdre régulier ». Le cube est un zonoèdre à trois générateurs.
Comme il a quatre sommets par face et trois faces par sommet, son symbole de Schläfli est {4,3}.
L'étymologie du mot cube est grecque ; cube provient de kubos, le dé.
Le terme de cube, appliqué à un nombre, désigne la valeur obtenue en multipliant ce nombre par lui-même et en remultipliant le résultat par le nombre initial. Cette expression s'est imposée durant la période où l'algèbre géométrique était omniprésente, le carré d'un nombre était vu comme la surface d'un carré de côté le nombre initial et le cube d'un nombre comme le volume d'un cube de côté le nombre initial. L'expression « a3 » peut se lire « a au cube » et « a cube ».
Le 1-squelette du cube — l'ensemble de ses sommets reliés par ses arêtes — forme un graphe appelé graphe hexaédrique.
Le cube est un des cinq solides de Platon. Un cube appartient à la famille des prismes droits. Il possède 8 sommets et 12 arêtes. Pour sommets, on peut prendre par exemple les points de de coordonnées . De plus :
Deux arêtes ayant une extrémité commune sont orthogonales.
Les faces opposées sont parallèles. Les faces adjacentes sont perpendiculaires
Tous les angles dièdres sont droits.
Les diagonales s'intersectent en un unique point, le centre de symétrie du cube, l'isobarycentre des huit sommets.
Mais par définition ses arêtes sont toutes de longueur égale, disons a. Ses faces sont donc des carrés d'aire a.
L'aire du cube vaut donc 6a ;
son volume vaut a ;
la longueur d'une diagonale vaut a ;
la sphère circonscrite a donc pour rayon a/2 ;
la sphère tangente aux arêtes a pour rayon a/ ;
la sphère inscrite a pour rayon a/2 ;
l'angle entre la diagonale et chacune des arêtes adjacentes vaut
l'angle entre la diagonale et chacun des plans adjacents vaut
C'est l'expression de son volume qui a conduit à l'utilisation du mot cube en algèbre.
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