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Concept
Nombre harshad
Résumé
En mathématiques récréatives, un nombre harshad, ou nombre de Niven, est un entier naturel qui est divisible par la somme de ses chiffres dans une base donnée. En base b, tous les nombres de 0 à b et toutes les puissances de b sont des nombres harshad, mais ils suivent ensuite une répartition similaire à celle des nombres premiers.
Ils semblerait que ces nombres aient été considérés pour la première fois par le mathématicien indien D. R. Kaprekar dans un texte de 1955 sous le nom de "multidigital numbers" . L'appellation harshad, qui signifie grande joie en sanskrit, leur a été donnée par la suite. L'appellation « de Niven » est un hommage au mathématicien Ivan Niven qui a publié un article et présenté une conférence en théorie des nombres sur leur sujet en 1977.
En base dix, les vingt premiers nombres harshad strictement supérieurs à 10 sont () :
12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80 et 81.
Les quotients obtenus se trouvent dans la suite de l'OEIS.
Les multiples de 9 à deux chiffres jusqu'à 90 sont des nombres harshad puisque la somme de leurs chiffres est égale à 9, mais 99 n'en est pas un, puisque 9 + 9 = 18 et 99 n'est pas divisible par 18.
Aucun nombre premier p strictement supérieur à 10 n'est harshad. En effet, la somme de ses chiffres est strictement comprise entre 1 et p donc ne peut pas diviser p.
En base dix, les factorielles des nombres entiers inférieurs ou égaux à 431 sont des nombres harshad. Le nombre 432! est la première factorielle à ne pas être un nombre harshad. En voici quelques autres : 444!, 453!, 458!, 474!, 476!, 485!, 489!.
Dans son article, Kaprekar semble admettre cette propriété comme évidente. Elle est en effet exacte, et démontrée par exemple dans en utilisant le théorème d'Euler.
Voici quelques couples où est le plus petit harshad ayant pour somme des chiffres :
La suite est la .
Cooper et Kennedy ont démontré qu'en base dix, il existe 20 entiers consécutifs (dépassant 10) qui sont tous des nombres harshad, mais qu'il n'en existe pas 21.
Source officielle
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